抽象函数奇偶性与单调性综合问题，抽象函数单调性解题技巧和方法

一.证明抽象函数的单调性

f(x )是为r定义的非常非零的函数，已知对于任何x，y，其满足f ) x ) f(y )=f ) xy )。

求f(0)的值，证明对于任意的XR，都有f ) x ) 0

设x0，均有f(x ) f )0)，证明f ) x )在(一，中是减函数。

[思路探索]抽象函数问题是重复利用已知条件； 抽象函数的单调性只能用单调性定义来证明，在已知条件下构造x1f(x2 )或f ( x1 ) 0

0时，f(x ) f )0)=1，x11时，从已知的f )1) f(1x2 ) 1，( f )1)1/f )1x2 )

然后f(X2 ) X2 )=f ) X2 ) f ) X2 )，即f ) X2 )=f(0)=1

( f (一X2 )=1/f ( x2 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )。

f(x1 ) f ( x2 )

( f(x )在(一，中是负函数。

同步跟踪

众所周知，函数f(x )对于任意的a，bR，具有f ) ab )=f ) a ) f ) b )一1，并且当x0时，具有f ) x ) 1。

求证( f ) x )是r上的增益函数；

当f(4)=5时，求解不等式f(3m(1m )2) 3。

错误之处：不使用单调性的定义，而直接使用字母a、b。 纠错设为a=x1，b=X2，只需设为x10，f(x2(x1 ) 1即可。 f(x2 )一f )1)=f(x2一1 ) )一f ) X1 ) f )一f )一f )一X1 ) )=f ) x2一X1 )一10 )。 抽象函数的单调性只能通过定义来定义满足的条件，充分利用已知。

利用单调性求解不等式，两边都要f(x )的形式，即f ) x1 ) f )2 )。

[分析]假设X1，X2R，且X10 (这里是密钥，结构已知)时，f )2 ) X1 ) 1，f ) x2 )一f )一f )一f )一f )一X1 ) )=f ) x2 )一X1 )

根据已知f(4)=f )2)=f )2) f )2)一=5，求出f )2)=3，

f(3m(m )1)2)从) f ) x )按r递减，

3m一m一22

解m1或m4/3。

二.求解含“f”不等式

利用函数的单调性求解抽象不等式f(x1 ) f ) x2 )，前提条件是两边都是f )。 在上面的例子中提问。

[同步跟踪]f(x )是) 0，中定义的负函数，且满足f ) xy )=f )) f ) y )，f )1/3)=1的情况。

求f(1)

f(x ) f )2) 2的情况下，求出x的可取范围。

关注[易错警告]函数的定义域！ 呃！

[解析]IX=y=1，f(1x1 )=f )1) f ) 1，f )1)=O

X=y=1/3，f(1/9)=2f )1/3)=2

) 0且2 ) XO时，

f(x ) f )2) x )=f ) x )2)o

()一XO

) ) 2一x )1/9

1(2)2/31 )2)求解2/3

所以的取值范围是(略) )。

三.综合训练

1、已知函数f(x )的定义域是[-2，2 ]，并且f ) x )在区间[-2，2 ]中是递增函数，f(1-m )【答案】(1/2，2 ) )。

2 .已知r中定义的增益函数f(x )满足f(-x ) f ) x )=0，x1，x2，x3R，且满足x1 x20，x2 x30，x3 x10 .

f(x1 ) f ) x2 ) f ) x3 )的值) a

a .一定要大于零

b .一定小于零

c .等于零

d .正负均可

3，r中定义的奇函数f(x )满足f )1/2)=0，) 0，单调减少时，xf ) x ) 0的解集合为) b

a { x|x-1/2或X1/2}

B{x丨0C{X丨0D{X|一1/21/2}

【思路探索】先画出函数的图像，再结合图像进行求解。

4 .在区间( a，b )中，当函数f(x )，g ) x )都是增加函数时，f ) x )=f ) x ) g ) x )在) a，b )中

a .增加函数

b .减少函数

b .递增函数或递减函数

d .以上是错误的( d ) )。

5.f(x )在实数集合上已知为减函数，如果是a b0，则为以下正确) ) )。

af(a ) f ) b(((f ) a ) f ) b ) )。

BF(a ) f(b )f(-a ) f((b ) ) ) ) ) ) ) ) )。

cf(a ) f ) b )=-[f(a ) a ) f ) b]

df(a ) ( b ) ) f )-a ) )-b ) ) ) )。

6 .已知对于任意的x，y0，，总是有f(xy )=f ) x ) f ) y )，且如果是00，则f ) x )被判定为) 0，上的单调性。

7.f(x )=[ g ( x ) x )一1]/[g(x ) x )一]，且f ) x )，g ) x ) 0，g(1)=2，g ) ) x )的定义域均为r

8 .函数f(x )对于任意x，yR，具有f ) xy )=f ) x ) f ) y )，f(-x )=(x )，在x0的情况下，求出f ) x ) 0，f(3)=-2 .函数f

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