解决二次函数上下文中特殊角的存在性问题，构造一个辅助圆展示其威力。

来源：头条浏览：0 2022-12-30 11:43:01

在二次函数合并问题中，关于动点的角度大多难以确定，很难有确定其位置来解决问题的想法，但是在这种情况下，通过在图形中构筑辅助圆可以得到意想不到的效果。

往年的考试题，几何综合题是必须的考试内容，但由于难度大而具有杀伤力，考生的失分率高。对于这样的高频率考点，在平时的学习中，必须有意识地练习和思考经典且有代表性的“好问题”，才能有效。提高自己的战斗力。

一、在保角等角即二次函数的综合问题中，必须寻找一个或几个以动点为原点的角等于已知角的情况。日元有很多关于“等角”的定理和结论。如“相对于同弧(或等弧)”中心角相等、圆周角相等”等，在圆周上寻找角是非常容易的。

1 .如图所示，已知抛物线y=axbxc(a0 )和x轴在a ) 1，0 )，b ) ) 4，0 )的两点交叉，y轴和c ) 0，2 )交叉，连接AC、BC。

)1)求抛物线解析式

)2) BC的垂直平分线在d、e两点相交抛物线，求解直线DE的解析式；

(3)如果点p位于抛物线的对称轴上，CPB=CAB，则求出满足条件的所有p点坐标。

【解析】在(1)抛物线y=axbxc ) a0 )中代入a ) 1，0 )、b )、c )的三点坐标，列方程式求出a、b、c的值即可，所以该抛物线的解析式为y=1/2x-5/

)如图1所示，BC的垂直平分线DE将BC连接为m，x轴连接为n，经过m点，将MFx轴设为f时，( bmf (可以得到bco，根据相似三角形的性质，根据垂直平分线的性质和梯度定理可以求出直线DE上的2点m，n的坐标

第)3)小题中点p的位置难以确定，且条件CPB=CAB难以利用。问题中的条件和结论看似与圆无关，但通过构造三角形外接圆，条件CPB=CAB得到了形象且充分利用，性质“同弧(或等弧)”对的圆周角相等”很容易确定定点二此时，两个角的两个顶点和这一边的两个端点满足"四点共圆"，且两个角作为圆周角相对的弧是同一弧。

二、在直方型直方型即二次函数的综合问题中，在寻找以动点为顶点的角为直角时，利用圆周角定理，提出了“直径成对的圆周角为直角。 90的圆周角成对的弦是直径。 ”通过推理，可以容易地确定角的位置。

2 .如图所示，已知抛物线y=axbxc(a0 )对称轴为直线x=1，抛物线与x轴在a、b两点相交，与y轴在c点相交。在此，a ( 1，0 )，c ) ) 0，3 )。

)1)当直线y=mx n通过B、C两点时，求出直线BC和抛物线的解析表达式；

)2)在抛物线的对称轴x=1上寻找点m，使点m到点a的距离和到点c的距离之和最小，求出点m的坐标。

)3)将点p作为抛物线对称轴x=1上的一个动点，求出以BPC为直角三角形的点p的坐标。

【解析】本题利用二次函数的图像和性质、待定系数法函数(二次函数和一次函数)的解析式、轴对称性质确定线段的最小长度，难度并不高，是一个很好的中考试卷

三、最大角型最大角型是指二次函数综合问题中以动点为项点的角最大。在圆中圆的外角、圆的内角、圆周的角具有“在同一圆中，与该弧成对的圆的外角小于圆的内角，与该弧成对的圆周的角大于圆的外角”的结论，可以确定最大角的位置。

3 .如图1所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2 bx c的图像通过点a (-1，0 )、b ) 4，0 )、c ) 0，3 )，其中对称轴和x轴与点e相交。

(1)求该二次函数的公式；

)2)如图1所示，p为y轴上的一个动点时，连接PE，求出1/2PC PE的最小值；

)3)如图2所示，将过点c作为CFAB，将抛物线和点f、m作为线段CF的一个动点，连接MO、MB，是否存在一点m以使sinOMB的值最大？如果存在，则求出此时的sinOMB的值；如果不存在，请说明理由。

【分析】(1)通过待定系数法，得到函数的解析式为y=3/4x 33/4x 2，

)在图1中，连接AC，如果将EHAC设为h，将交叉OC设为p，则1/2 PC PE变为最小。最小值为线段EH，求出EH即可。

(3)点m不存在。将sinOMB的值最大化。 QPCF的平行线时，QP为最小。此时( q与CF的平行线和点p相接。将sinOPB设为最大。如果CF上不存在点m，则sinOMB最大。

)在图1中，连接AB，以DHAB为h，以交叉OB为p时，1/2 PC PE为最小。

)3) CF上不存在点p，使sinOMB的值最大。

如图2所示，设POB的外接圆为q，如果QG为弦心间距离，则OQG=OPB，在RtOQG中，OG为一定，当q的半径最小时，OGQ最大，qp8666666

即，存在于CF上m点使sinOMB的值最大.

[意见]问题研究二次函数的综合问题、根与系数的关系、梯度定理、平行线段的比例定理、圆、锐角三角函数等知识。解题的关键是利用根与系数的关系构造方程解决问题，学习添加常用辅助线构造圆解决问题，是中考的压卷题。

变形例1 .在平面正交坐标系中，o是坐标原点，直角梯形AOCD的顶点a的坐标为[0，3]，点d的坐标为[1，3]，点c位于x轴的正轴上，以通过点o的点d为顶点的抛物线通过点c，点p为CD的坐标

)1)求出抛物线解析式及点p的坐标；

)2)在y轴右侧的抛物线上，是否存在以q为圆中心的圆同时与y轴、直线OP相切的点q？如果存在，则要求满足条件点q的坐标；如果不存在，请说明理由；

(3)点m是线段OP上的一个移动点(不与o点重合)，通过点o、m、d的圆和y轴的正轴与点n相交。求证： OM ON为定值。

)4)在y轴上查找点h，使PHD最大。试着求出点h的坐标。

【解析】(1)抛物线顶点d的坐标为) 1，3，因此可以将抛物线的解析式设为y=a(x-1 ) ) 3。另外，由于函数图像已经过了原点，所以为了求出a的值)只要代入0，0 )，就可以求出抛物线的解析式，如果y=0，就可以求出抛物线与x轴的交点坐标

)2)在y轴右侧的抛物线上存在点q，以q为圆中心的圆同时与y轴、直线OP相切。这个问题可以分为(q在直线OP上的情况和) q在直线OP下的情况两种情况进行研究。

)3)可以根据圆周角定理证明MD=ND，进而证明( nad (陈( mpd ) HL )，由于可以从联合三角形的性质中得到MP=AN，所以om on=opMP OA an=op OA=2oa=3，om oon

)4)通过p、d两点且在y轴上与点h相切的圆s，

圆周角大于圆外角，说明PhD最大。

四、特殊角问题4 .如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax bx c的图像通过点a (-1，0 )、b ) 0、-3 )、c ) 2，0 )，其对称轴与x轴在点d相交

(1)求出二次函数的表达式及其顶点坐标

)2) p为y轴上的一个动点，连接PD时，1/2PB PD的最小值为______；

(3) m ) x，t )是抛物线对称轴上的一个移动点

平面内存在点n，以a、b、m、n为顶点的四边形为菱形时，这些点n共有_____个；

连接ma、MB，如果AMB在60以上，求出t的取值范围。

【解析】(1)用待定系数法求解方程解决问题。

)在图1中，如果连接AB，设DHAB为h，交叉OB为p，则1/2PB PD为最小。

)3)以圆心AB为半径画弧有对称轴和两个交点，以B为圆心AB画弧时对称轴也有两个交点，线段AB的垂直平分线和对称轴有一个交点，所以满足条件的点m有5个，即满足条件的点n也有5个

如图所示，在RtAOB中，tanABO=OA/OB=3/3，ABO=30，

AB的垂线与y轴和点e交叉，连接EA时，AEB=120，

以e为圆心，以EB为半径构造一个圆，与抛物线的对称轴相交于点f、g。

AFB=AGB=60，线段FG上的点满足题意，

本题考察了二次函数的综合问题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，求解的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用垂线段用最短的时间解决实际问题，学会添加辅助线，构筑圆解决角度问题，是中考的压卷题

变形例2 .如图所示，在平面正交坐标系中，二次函数y=ax bx3的图像通过点a (-1，0 )、c )、2、0 )，与y轴和点b交叉，其对称轴与x轴和点d交叉

(1)求出二次函数的表达式及其顶点坐标

(2) m ) s，t )是抛物线对称轴上的一个动点，

平面内存在点n时，以a、b、m、n为顶点的四边形为矩形，直接写出点m的坐标；

连接ma、MB，如果AMB在60以上，求出t的取值范围。

【解析】(1)根据二次函数y=ax2 bx3的图像经过点a (-1，0 )，c ) 2，0 )，可以求出该函数的解析式。然后，如果将函数解析为顶点点式，就可以得到该函数的顶点坐标。

)2)根据题意，画出相应的图形，然后可以用分类讨论的方法求出点m的坐标；

根据题意，构造一个圆，根据圆周角与中心角的关系及AMB在60以上，可以求出t的取值范围。

如图2所示，绘制AB的垂直平分线，并在y轴上相交于点f。根据题意，以AB=2，BAF=ABO=30，AFB=120，f为圆心，以AF长为半径相交于点m和m点。

总结基于以上例题的分析，在求解二次函数合并问题中的有关"动点"的角度问题时，在该"动角"的两边分别通过两个确定点时，或者在可以用相关文字表示两点的登记时，通过建立"辅助圆" 另外，可以使用圆中半径相等的等量关系，建立满足条件的关于动点坐标或圆中心坐标的方程式。 “辅助圆”可以总结问题中看起来很分散的条件，表达隐藏的条件。可以说是解决角度存在性难题的一个利器。