关于悖论，首先要明白什么是悖论。《数学百科辞典》一书中，对于悖论是这么解释的：能够导出与一般判断相反的结论，而要推翻它又很难给出正当的根据时，这种论证称为悖论。其实简单来讲，所谓的悖论，就是指从这样一个命题A，可推导出另一个命题B，但这个明天本身却存在自相矛盾的现象：若B为真，则推出B为假；若B为假
关于悖论，首先要明白什么是悖论。
《数学百科辞典》一书中，对于悖论是这么解释的：能够导出与一般判断相反的结论，而要推翻它又很难给出正当的根据时，这种论证称为悖论。其实简单来讲，所谓的悖论，就是指从这样一个命题A，可推导出另一个命题B，但这个明天本身却存在自相矛盾的现象：若B为真，则推出B为假；若B为假，又会推出B为真。
而将已认知的悖论进行划分的话，可以分为这三大类：
（1）一个论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）；（2）一个论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）；（3）一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导出了逻辑上的自相矛盾。
如果还没看明白，那我们就讲讲几个比较熟悉的悖论吧！首先还是要跟大家分享一下最熟悉的唐·吉诃德悖论。
著名小说《唐·吉诃德》里描写了一个残酷的国王，在他所能统治的国家里有一条法律：每个旅游者都要回答一个问题：“您来这里干什么？”如果回答对了，一切事情都好办；如果回答错了，立刻被绞死。
某天，有个旅游者来到这个国家，回答上述问题时他答道：“我是来被绞死的。”如果旅游者回答是对的，按照法律，他就不应该被绞死；如果旅游者回答是错的，按照法律应被绞死，而他的“我是来被绞死的。”这句话显然又是回答对了，也不应该被绞死。最后，国王无可奈何，只得对旅游者放行。
除此之外，想必大家也应该还记得理发师悖论和祖父悖论。
理发师悖论
这是罗素集合悖论的一种通俗说法：萨维尔村里的一名理发师，给自己立了一条店规：“只给自己不给自己刮脸的人刮脸。”那么这位理发师的脸该不该由自己刮呢？如果理发师的脸由他自己刮，则他属于“自己给自己刮脸的人”，因此，理发师不应该给自己刮脸；如果理发师的脸不由自己刮，则他属于“自己不给自己刮脸的人”，因此，他的脸可由自己刮，显然又与上述“自己不给自己刮脸的人”相矛盾。
祖父悖论
祖父悖论又称为“外祖母悖论”是一种时间旅行的悖论，科幻故事中常见的主题。最先由法国科幻小说作家赫内·巴赫札维勒(René Barjavel)在他1943年的小说《不小心的旅游者》（Le Voyageur Imprudent）中提出。情景如下：
假设你回到过去，在自己父亲出生前把自己的祖父母杀死；因为你祖父母死了，就不会有你的父亲；没有了你的父亲，你就不会出生；你没出生，就没有人会把你祖父母杀死；若是没有人把你的祖父母杀死，你就会存在并回到过去且把你的祖父母杀死，于是矛盾出现了。
接下来，我们继续讲讲与三次数学危机相关的悖论。
1、二分法悖论
故事是这样的，假设一个人在到达目的地之前，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……按照这个要求可以无限循环的进行下去。。。
因此有两种情况：①这个人根本没有出发；②只要他出发了，就永远到不了终点。（尽管离终点越来越近）
其实现在想想，这个悖论从逻辑上来看就是错的。
2、贝克莱悖论
17世纪的时候，牛顿与莱布尼兹共同创建了微积分，给全世界数学的发展带来了新的曙光，然而此时却有跳出来指出了这么一个问题：
在1734年，英国哲学家乔治·贝克莱出版了名为《分析学家或者向一个不信神数学家的进言》的一本书。
在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击，指出求x2的导数时，会出现如下矛盾：
贝克莱认为这是依靠双重错误得到了不科学却正确的结果。
然而这个问题并没有阻碍微积分的发展，下拉格朗日、柯西等数学家的改进下，微积分依旧上当前数学研究中重要的基础内容。
3、罗素悖论
在1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱高调宣称：“……借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”
然而罗素提出的一个悖论：
所有不包含自身的集合的集合，它到底包不包含自身呢？如果它包含自身，那么它就不是不包含自身的集合，所以也就不是所有不包含自身的集合的集合的元素。如果它不包含自身，那它理应是所有不包含自身的集合的集合的一个元素。这样的一个集合，包不包含自身，都必将引发矛盾。
如果看不懂这个悖论，那就请直接参考理发师悖论。
就在这次危机爆发后很长一段时间内，数学家们曾试图对“集合论”的定义加以限制，进而排除悖论。然而并无法消除悖论存在的可能性。
直到1931年，哥德尔提出了一系列不完备定理并予以证明。
①任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在至少一个命题：它在这个系统中既不能被证明也不能被证否。
②如果一个形式系统含有初等数论，当该系统自洽（所有公理都不互相矛盾）时，它的自洽性不可能在该系统内证明。
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