流程选择模型

前段时间看到赵玉平关于相亲的问题，很有意思。我希望通过概率模拟来验证这种方法的有效性。

原链接如下。有兴趣可以先了解一下原解释：管理学博士是怎么去相亲的？这个过程太真实了。最后，你居然选择了这么好的“对象”！强烈建议您学习.%相亲https://v.douyin.com/RWQQnC4/.

1.问题重述

1.1原问题描述

学生是我的媒人。每个学生向赵小姐介绍一个男朋友，并写下一个数字来代表男孩的品质。一次见一个人，一个方向不能重复。如果你决定做，就结束它；如果你决定不做，继续。

总结方法：先选4个学生(共12个)提问，记住最大值，然后向其他同学提问。当最大值大于上述最大值时，决定询问。

1.2数学模型

现在把原来的问题抽象为下面的数学过程。

随机生成n个数字；

依次向模型中输入n个数字，当决定选择其中一个时，过程停止(记录为kth，kn)；

目标是使选定的数字尽可能大，并尽可能排在前n个数字中。

是：

n个数的第一个a(an，a/n=r)的最大值为m；

从第1位开始，小于等于第1位的丢弃，大于第1位的选择；

如果在最后一个数字之前没有大于A的数字，请选择最后一个数字。

在这个过程中，有这样一个问题：这n个随机数服从什么分布？让我们假设它服从0到100之间的平均分布。

2.过程实现

设n=100，a=33，模拟如下。

将numpy作为np导入

类别选择：

def __init__(self，nums):

# nums表示提供的数字集。

self.nums=nums

self.n=len(nums)

def get_max(self，a):

#从前面的A数中选择最大的一个，并记录为max_num。

自我a=a

self . max _ num=max(self . nums[0: a])

def决定(自我):

self.flag=0

因为我在射程之内

#如果遇到更大的数字，请选择。

if self . nums[I]self . max _ num :

自我选择=自我

self.flag=i

#如果整个过程没有遇到比较大的数字，只能选择最后一个。

if self.flag==0:

self . choice=self . nums[self . n-1]

def show(self):

Print('有%d个数字，其中最大值为%f，选定的数字为%f，排名为%d'%。

(self.n，max(self.nums)，self.choice，sum(c.numsc.choice) 1))

if self.flag==0:

打印(在随后的数字中没有找到更大的数字，因此最后一个数字最终从所有数字中选择)

else:

打印(' %d数字' % (self.flag 1))。

n=100

a=33

nums=np.random.uniform(0，100，size=n)

c=选择(nums)

c.get_max(a)

c .决定()

c.show()

经过几次模拟，结果如下：

共有100个号码，其中最大值为96.647844，选中号码为96.647844，排名第一。

第64个号码被选中。

共有100个号码，其中最大值为99.571219，选中号码为65.277241，排名第31位。

在随后的数字中没有发现更大的数字，所以最后一个最终在所有数字中被选中。

共有100个号码，其中最大值为97.931539，选择号码为41.759912，排名第50。

在随后的数字中没有发现更大的数字，所以最后一个最终在所有数字中被选中。

共有100个号码，其中最大值为99.566610，选中号码为99.566610，排名第一。

位
选择了第73个数字

共有100个数字，其中的最大值是98.271705，选择的数字是98.271705，排第1位
选择了第82个数字

可以发现，在5次模拟中有3次选到了全局最大，效果不错，但也有两次在后续数字中未找到更大的。

直接进行100000次模拟，观察情况：

choices = []
rank = []
fail = 0
for i in range(0,100000):
    if i%1000==0:
        print(i)
    nums=np.random.uniform(0, 100, size=n)
    c=choose(nums)
    c.get_max(a)
    c.decide()
    choices.append(c.choice)
    rank.append(sum(c.numsc.choice)+1)
    if c.flag == 0:
        fail += 1

观察选出的数字的分布：

import matplotlib.pyplot as plt
plt.hist(choices,100)

可以看到，大部分落在90~100之间，落在99~100之间的概率为0.28，效果较好，平均值np.mean(choices)=82.01201051783117。

观察选出的数字在原100个数字中的位次的分布：

plt.hist(rank,100)

可以看到，大部分位次落在0~10之间，选到最大值（排第1位）的概率为0.37。平均值np.mean(rank)=18.16273，平均相对位次0.18。

3.敏感性分析

当参数发生变化时，该方法是否仍能有较好的效果。

3.1小样本

现实情况中我们的精力有限，往往没有那么多的选择机会，那么，当n减少时（a/n=r近似不变），会发生什么。

n=50，a=17。进行100000次模拟，平均位次10.10，平均相对位次0.20。

n=10，a=3。进行100000次模拟，平均位次3.03，平均相对位次0.30。

n=5，a=2。进行100000次模拟，平均位次2.2，平均相对位次0.44。

随着n的减小，能够取得的平均相对位次的变化情况如下图。

可见随着n的减小，该方法的效果变差，但由于样本少，该现象情有可原。

3.2策略值r

保持n=100不变，观察r的变化对结果的影响，对r从0.1到0.9取9个值，每个值模拟10000次。

n=100
rs=np.linspace(0.1, 0.9, 9)
m_choices=[]
m_rank=[]
m_fail=[]
for r in rs:
    print(r)
    a=int(round(n*r))
    choices = []
    rank = []
    fail = 0
    for i in range(0,10000):
        nums=np.random.uniform(0, 100, size=n)
        c=choose(nums)
        c.get_max(a)
        c.decide()
        choices.append(c.choice)
        rank.append(sum(c.numsc.choice)+1)
        if c.flag == 0:
            fail += 1
    
    m_choices.append(np.mean(choices))
    m_rank.append(np.mean(rank))
    m_fail.append(fail)

r对选择结果的影响：

plt.plot(rs,m_choices)

plt.plot(rs,m_fail)

当r较大时，很容易在后续数字中找不到更大的，从而获得较差的最终选择。

n=10，观察r的变化对结果的影响，对r从0.1到0.9取9个值，每个值模拟10000次。

plt.plot(rs,m_choices)

plt.plot(rs,m_fail)

当n较小时，虽然随着r的增大，在后续数字中找不到更大的数字的概率也是近乎线性增大，但是如果a太小则选不到较大的阈值，因此r在0.1到0.9之间存在最优解。

这启示我们，当基数n较大时，r的取值可适当减小，以便获得更优的结果。

4.进一步讨论

可以看到，对于该方法，当在后续数字中找不到更大的数字时，只能被迫选择最后一个数字，导致结果较差。一个后续改进的思路是，当在一段时间内（第a个数字后的一些数字中）未发现更好的时，应适当降低要求。

对于不同的n，存在不同r的最优取值，n越大，r的最优取值越小。

如果原数据服从其他分布规律，如卡方分布，F分布等，则结果可能有不同的表现，可能需要根据不同的分布采取不同的策略。

实际上，回归相亲问题，现实情况远比该数学问题复杂的多，首先每个人有自己的特点，不能被很好地量化打分，即使打分也是各方面表现有不同的分数，其次，n是不可控的，且人的思维都是不断发展变化的，挑选者不可能一成不变地遵循一个死板的策略，被挑选者也不一定在被挑选后即接受。最后，且行且珍惜。