三次数学危机及其影响,数学史上第三次数学危机

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哲学上,矛盾无处不在,就连以确定性著称的数学也不例外。数学中有很多矛盾,如正与负、加减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等。

在整个数学发展过程中,仍然存在着许多深刻的矛盾,如穷与无穷、连续与离散、存在与建构、逻辑与直觉、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。

在数学史上,矛盾的斗争和解决贯穿始终。当矛盾激化到涉及整个数学基础的时候,就会出现数学危机。危机的解决往往能给数学带来新的内容、新的发展,甚至革命性的变化。

数学的发展经历了三次关于基础理论的危机。

第一次数学危机

起因:在公元前580年至568年的古希腊,数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这所学校是宗教、科学和哲学的结合体。它有固定的人数和机密的知识。所有的发明创造都属于学校领导。

毕达哥拉斯

当时人们对有理数的认识还很有限,对无理数的概念一无所知。毕达哥拉斯学派提到的数,原本是指整数。他们不把分数看成一个数,而只看成两个整数的比值。他们错误地认为宇宙中的一切现象都归结于整数或整数之比,即“万物皆有数”。

根据毕达哥拉斯定理(西方称为毕达哥拉斯定理),该学派的一位成员通过逻辑推理发现,边长为L的正方形的对角线长度既不是整数,也不是整数之比。埃伯索斯的发现被认为是“荒谬的”,违背了常识。

它不仅严重违背了毕达哥拉斯学派的信条,也冲击了当时希腊人的传统观点。当时,希腊数学家深感不安。根据传说,希伯来人就是因为这个发现被淹死在海里的,这是第一次数学危机。

解决方案:通过在几何中引入不可公度量的概念,解决了这一危机。两条几何线段,如果有第三条线段可以同时测量它们,则称为不可公度,否则称为不可公度。

没有第三条线段可以测量正方形和对角线的两边,所以它们是不可公度的。显然,只要承认不可公度量的存在,几何量就不再受整数的限制,所谓的数学危机也就不复存在。

意义:对不可公度量的研究使几何更加完备,其成果被欧几里德吸收,部分成果收录在his 《几何原本》中。

第二次数学危机

起因:17世纪,微积分的形成给数学带来了革命性的变化,被广泛应用于各个科学领域。然而,微积分理论存在矛盾。无穷小是微积分的基本概念之一。

牛顿

微积分的主要创始人牛顿,在一些典型的求导过程中,用无穷小作为分母来除,当然无穷小不能为零;第二步,牛顿把无穷小看成零,去掉包含它的那些项,从而得到想要的公式。在力学和几何学中的应用证明这些公式是正确的,但其数学推导过程在逻辑上是矛盾的。焦点:无穷小是零还是非零?如果是零,怎么做除数?如果不是零,如何去掉那些含有无穷小的项?

解决方案:直到19世纪,柯西才详细系统地发展了极限理论。柯西认为,把无穷小作为一个确定的量,即使是零,也不能被证明是合理的,这将与极限的定义相矛盾。无穷小量要想多小就多小,所以本质上是一个变量,是一个以零为极限的量。至此,柯西澄清了前人关于无穷小量的概念,将无穷小量从形而上学的桎梏中解放出来,基本解决了第二次数学危机。

意义:第二次数学危机的解决使c

第三次数学危机

起因:19世纪下半叶,康托创立了著名的集合论,集合论刚产生时就遭到了很多人的猛烈抨击。但很快这一开创性的成果就被数学家们所接受,并获得了广泛而高度的赞誉。数学家们发现,从自然数和康托集合论出发,整个数学大厦都可以搭建起来。因此,集合论成为现代数学的基石。

唱诗人领唱者

然而,好景不长。1903年,一则震惊数学界的消息传出:集合论有缺陷!这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。

罗素构造了一个集合s: s是由所有不是自身的元素组成的。然后罗素问:S属于S吗?根据排中律,一个元素要么属于某个集合,要么不属于某个集合。因此,对于给定的集合,问它是否属于自己是有意义的。但这个看似合理的问题的答案将陷入两难境地。如果S属于S,根据S的定义,S不属于S;另一方面,如果s不属于s,那么s根据定义也属于s。无论如何,这是矛盾的。这样,数学史上更大的危机就形成了。

解决方案:数学家开始寻找解决这一危机的方案,其中之一就是在一组公理的基础上建立集合论,以避免悖论。首先,德国数学家泽梅罗提出了七条公理,建立了一个没有悖论的集合论,而经过另一位德国数学家沃齐克的改进,形成了一个没有矛盾的集合论公理体系。所谓ZF公理系统。这里的数学危机已经缓解。数学危机给数学的发展带来了新的动力。

意义:在这场危机中,集合论发展迅速,数学基础进步较快,数理逻辑更加成熟。

Via:数学中国

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