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数学发展史上的三大危机是什么，即“建议集”
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哲学上，矛盾无处不在，就连以确定性著称的数学也不例外。数学中有很多矛盾，如正与负、加减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等。
在整个数学发展过程中，仍然存在着许多深刻的矛盾，如穷与无穷、连续与离散、存在与建构、逻辑与直觉、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。
在数学史上，矛盾的斗争和解决贯穿始终。当矛盾激化到涉及整个数学基础的时候，就会出现数学危机。危机的解决往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至革命性的变化。
数学的发展经历了三次关于基础理论的危机。
第一次数学危机
起因：在公元前580年至568年的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这所学校是宗教、科学和哲学的结合体。它有固定的人数和机密的知识。所有的发明创造都属于学校领导。
毕达哥拉斯
当时人们对有理数的认识还很有限，对无理数的概念一无所知。毕达哥拉斯学派提到的数，原本是指整数。他们不把分数看成一个数，而只看成两个整数的比值。他们错误地认为宇宙中的一切现象都归结于整数或整数之比，即“万物皆有数”。
根据毕达哥拉斯定理(西方称为毕达哥拉斯定理)，该学派的一位成员通过逻辑推理发现，边长为L的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数之比。埃伯索斯的发现被认为是“荒谬的”，违背了常识。
它不仅严重违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统观点。当时，希腊数学家深感不安。根据传说，希伯来人就是因为这个发现被淹死在海里的，这是第一次数学危机。
解决方案：通过在几何中引入不可公度量的概念，解决了这一危机。两条几何线段，如果有第三条线段可以同时测量它们，则称为不可公度，否则称为不可公度。
没有第三条线段可以测量正方形和对角线的两边，所以它们是不可公度的。显然，只要承认不可公度量的存在，几何量就不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在。
意义：对不可公度量的研究使几何更加完备，其成果被欧几里德吸收，部分成果收录在his 《几何原本》中。
第二次数学危机
起因：17世纪，微积分的形成给数学带来了革命性的变化，被广泛应用于各个科学领域。然而，微积分理论存在矛盾。无穷小是微积分的基本概念之一。
牛顿
微积分的主要创始人牛顿，在一些典型的求导过程中，用无穷小作为分母来除，当然无穷小不能为零；第二步，牛顿把无穷小看成零，去掉包含它的那些项，从而得到想要的公式。在力学和几何学中的应用证明这些公式是正确的，但其数学推导过程在逻辑上是矛盾的。焦点：无穷小是零还是非零？如果是零，怎么做除数？如果不是零，如何去掉那些含有无穷小的项？
解决方案：直到19世纪，柯西才详细系统地发展了极限理论。柯西认为，把无穷小作为一个确定的量，即使是零，也不能被证明是合理的，这将与极限的定义相矛盾。无穷小量要想多小就多小，所以本质上是一个变量，是一个以零为极限的量。至此，柯西澄清了前人关于无穷小量的概念，将无穷小量从形而上学的桎梏中解放出来，基本解决了第二次数学危机。
意义：第二次数学危机的解决使c
第三次数学危机
起因：19世纪下半叶，康托创立了著名的集合论，集合论刚产生时就遭到了很多人的猛烈抨击。但很快这一开创性的成果就被数学家们所接受，并获得了广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数和康托集合论出发，整个数学大厦都可以搭建起来。因此，集合论成为现代数学的基石。
唱诗人领唱者
然而，好景不长。1903年，一则震惊数学界的消息传出：集合论有缺陷！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。
罗素构造了一个集合s: s是由所有不是自身的元素组成的。然后罗素问：S属于S吗？根据排中律，一个元素要么属于某个集合，要么不属于某个集合。因此，对于给定的集合，问它是否属于自己是有意义的。但这个看似合理的问题的答案将陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S不属于S；另一方面，如果s不属于s，那么s根据定义也属于s。无论如何，这是矛盾的。这样，数学史上更大的危机就形成了。
解决方案：数学家开始寻找解决这一危机的方案，其中之一就是在一组公理的基础上建立集合论，以避免悖论。首先，德国数学家泽梅罗提出了七条公理，建立了一个没有悖论的集合论，而经过另一位德国数学家沃齐克的改进，形成了一个没有矛盾的集合论公理体系。所谓ZF公理系统。这里的数学危机已经缓解。数学危机给数学的发展带来了新的动力。
意义：在这场危机中，集合论发展迅速，数学基础进步较快，数理逻辑更加成熟。
Via:数学中国
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