python内置函数中的均值函数在哪(python中计算数量的函数)

本文主要讲解“什么是Python矩和矩母函数”。感兴趣的朋友不妨看看。本文介绍的方法简单、快速、实用。让边肖学习一下“什么是Python矩和矩母函数”！

斜度

值得考虑的是，期望和方差是否足以描述一个分布？如果答案是肯定的，那么我们不需要寻找其他描述性的量。事实上，这两种描述不足以完全描述一个分布。

我们看两个分布，一个是指数分布：

f(x)={ ex0 ififx0x0f(x)={ exifx00 ifx 0

它的期望值是E(x)=1E(x)=1，方差是Var(x)=1Var(x)=1。

我们用Y=2-X得到一个新的随机变量及其分布：

f(y)={ E2-y0ifify2y2f(y)={ E2-yify20if y2

密度曲线与原始密度曲线关于直线X=1对称，具有与原始分布相同的期望值和方差。期望值为E(x)=1E(x)=1，方差为Var(x)=1Var(x)=1。

我们绘制了两种分布的密度曲线，如下图：所示。

可以看出，即使期望值和方差不变，两条分布曲线也明显不同。第一条曲线下的区域向左倾斜，而第二条曲线向右倾斜。为了表达这种分布特征，我们引入了一个新的描述量，偏斜度。定义为：

偏斜(X)=E[(X)3]偏斜(X)=E[(X)3]

在上述两个分布中，第一条曲线向左倾斜，斜率分别为2。另一条曲线的斜率是-2。显然，斜率的不同会带来分布的巨大差异(即使期望和方差相同)。

绘制程序如下

from scipy . stats import texponipimportumpunyasnpimportmatplotlib . pyplotasplt

rv=指数(标度=1)

x1=np.linspace(0，20，100)

x2=np.linspace(-18，2，100)

y1=rv.pdf(x1)

y2=rv.pdf(2-x2)

plt.fill_between(x1，y1，0.0，color='green ')

plt.fill_between(x2，y2，0.0，color='coral '，alpha=0.5)

plt.xlim([-6，8])

plt.title('twodistribution ')

plt.xlabel('RV ')

plt.ylabel('f(x)')

遵守方差和斜率的定义。

Var(X)=E[(X)2]Var(X)=E[(X)2]

偏斜(X)=E[(X)3]偏斜(X)=E[(X)3]

是x的函数的期望，它们之间唯一的区别就是函数的形式，也就是(x ) (x )的幂不同。方差是2的幂，斜率是3的幂。

所有上述描述符都可以归类为一族描述符“矩”。与方差和斜率类似，它们是(x ) (x )幂的期望值，称为中心矩。E [(x ) k] e [(x ) k]称为k阶中心矩，表示为kk，其中k=2，3，4，

另一个是关于原点的时刻，是对XX力量的期待。E[Xk]E[Xk]称为K阶原点矩，表示为'kk '，其中k=1，2，3，

预期一阶原点矩：

E(X)=E(X1)E(X)=E(X1)

矩

，除了中心、离散程序和斜率的特征外，高阶矩还可以描述分布的其他特征。矩在统计学中起着重要的作用。例如，参数估计的一个重要方法是使用矩。然而，根据力矩的定义，我们需要期望不同的x次幂。这个过程涉及到一个复杂的集成过程，并不容易。矩也诞生了矩母函数，它是求解矩的有力武器。

在理解矩母函数之前，我们先来复习一下幂级数。幂级数是不同阶次的幂(如1，x，x2，x3.1，x，x2，x3

...)的加权总和：

∑i=1+∞aixi∑i=1+∞aixi

aiai是一个常数。

幂级数是数学中的重要工具，它的美妙之处在于，解析函数都可以写成幂级数的形式，比如三角函数sin(x)sin⁡(x)可以写成：

sin(x)=x−x33!+x55!−x77!+...sin⁡(x)=x−x33!+x55!−x77!+...

将解析函数分解为幂级数的过程，就是泰勒分解(Taylor）。我们不再深入其具体过程。xnxn是很简单的一种函数形式，它可以无限次求导，求导也很容易。这一特性让幂级数变得很容易处理。将解析函数写成幂级数，就起到化繁为简的效果。

(幂级数这一工具在数学上的用途极其广泛，它用于数学分析、微分方程、复变函数…… 不能不说，数学家很会活用一种研究透了的工具)

如果我们将幂级数的x看作随机变量X，并求期望。根据期望可以线性相加的特征，有:

E(f(X))=a0+a1E(X)+a2E(X2)+a3E(X3)+...E(f(X))=a0+a1E(X)+a2E(X2)+a3E(X3)+...

我们可以通过矩，来计算f(X)的期望。

另一方面，我们可否通过解析函数来获得矩呢？我们观察下面一个指数函数，写成幂级数的形式：

etx=1+tx+(tx)22!+(tx)33!+(tx)44!...etx=1+tx+(tx)22!+(tx)33!+(tx)44!...

我们再次将x看作随机变量X，并对两侧求期望，即

E(etX)=1+tE(X)+t2E(X2)2!+t3E(X3)3!+t4E(X4)4!...E(etX)=1+tE(X)+t2E(X2)2!+t3E(X3)3!+t4E(X4)4!...

即使随机变量的分布确定，E(etX)E(etX)的值还是会随t的变化而变化，因此这是一个关于t的函数。我们将它记为M(t)M(t)，这就是矩生成函数(moment generating function)。对M(t)M(t)的级数形式求导，并让t等于0，可以让高阶的t的乘方消失，只留下E(X)E(X)，即

M′(0)=E(X)M′(0)=E(X)

即一阶矩。如果继续求高阶导，并让t等于0，可以获得高阶的矩。

M(r)(0)=E(Xr)M(r)(0)=E(Xr)

有趣的是，多次求导系数正好等于幂级数系数中的阶乘，所以可以得到上面优美的形式。我们通过幂级数的形式证明了，对矩生成函数求导，可以获得各阶的矩。相对于积分，求导是一个容易进行的操作。

矩生成函数的性质

矩生成函数的一面是幂级数，我们已经说了很多。矩生成函数的另一面，是它的指数函数的解析形式。即

M(t)=E[etX]=∫∞−∞etxf(x)dxM(t)=E[etX]=∫−∞∞etxf(x)dx

在我们获知了f(x)的具体形式之后，我们可以利用该积分获得矩生成函数，然后求得各阶的矩。当然，你也可以通过矩的定义来求矩。但许多情况下，上面指数形式的积分可以使用一些已有的结果，所以很容易获得矩生成函数。矩生成函数的求解矩的方式会便利许多。

矩生成函数的这一定义基于期望，因此可以使用期望的一些性质，产生有趣的结果。

性质1 如果X的矩生成函数为$MX(t)]，且[$Y=aX+b$MX(t)]，且[$Y=aX+b，那么

MY(t)=eatMX(bt)MY(t)=eatMX(bt)

(将Y写成指数形式的期望，很容易证明该结论)

性质2 如果X和Y是独立随机变量，分别有矩生成函数MX,MYMX,MY。那么对于随机变量Z=X+YZ=X+Y，有

MZ(t)=MX(t)MY(t)MZ(t)=MX(t)MY(t)

(基于独立随机变量乘积的期望，等于随机变量期望的乘积)

练习:

推导Poisson分布的矩生成函数

到此，相信大家对“Python矩与矩生成函数是什么”有了更深的了解，不妨来实际操作一番吧！这里是网站，更多相关内容可以进入相关频道进行查询，关注我们，继续学习！