python计算变量间的相关系数(python计算多元变量的相关系数)

本文介绍了“如何定义Python协方差和相关系数”的知识。很多人在实际案例操作中都会遇到这样的困难。接下来，让边肖带领大家学习如何应对这些情况！希望大家认真阅读，学点东西！

联合分布包含丰富的信息。例如，从联合分布中提取随机变量的边际分布，即得到随机变量的分布，从而可以得到随机变量的期望和方差。这样，视线就被限制在单个随机变量上，我们就失去了联合分布中包含的其他有用信息，比如不同随机变量之间的相互作用。为了理解不同随机变量之间的关系，我们需要要求其他描述性的量。

00-1010协方差表示两个随机变量的协同变化关系。我们取一个样本空间，就是学生的体检数据。学生的身高是随机变量X，学生的体重是随机变量y。

10cm 170cm 180cm 60kg 0 . 20 . 050 . 0570kg 0 . 050 . 30 . 0580kg 0 . 050 . 050 . 2根据上表，大身高(180cm)和大体重(80kg)同时出现的概率较高(0.2)，小身高值。身高过大往往伴随着体重过大，身高过小往往伴随着体重过小。这种“大”伴随着“大”，“小”伴随着“小”，这叫正相关。根据上述数据，身高和体重之间有很强的正相关关系。

另一方面，如果“大”匹配“小”和“小”匹配“大”的概率高，那么这两个随机变量是负相关的。“最可爱的身高差”就是负相关的一个例子。(样本空间是情侣的身高信息。你可以把男生的身高定义为随机变量，女生的身高定义为另一个随机变量)

就像其他分布描述符一样，协方差从概率分布中提取信息，让我们知道分布的“性能”。对于已知的联合分布，可以在任意两个随机变量之间计算协方差，即数值。

00-1010协方差定义如下：如果X和Y是联合分布的随机变量，并且分别存在期望的XX、YY，则X和Y的协方差为

Cov(X，Y)=E[(XX)(YY)]Cov(X，Y)=E[(XX)(YY)]

协方差的定义是基于期望的。根据期望的定义，协方差可以直接用于离散随机变量和连续随机变量。

我们已经知道，期望是随机变量根据概率的加权平均值。我们加权平均的目标是x xx x和y YY y的乘积，随机变量与期望值的差代表了随机变量的值与中心值的偏差程度，也就是我们所说的“太大”或“太小”:正值的偏差意味着太大，负值的偏差意味着太小。如果存在正相关，即如果有大匹配和小匹配，那么这个乘积就是正的；如果存在负相关，则产品为负。因此，通过(x x) (y y) (x x) (y y)的量，我们表达了x和y之间的相关性。

回到刚才的数据来计算相关性，

10cm 170cm 180cm 60kg 0 . 20 . 050 . 0570kg 0 . 050 . 30 . 0580kg 0 . 050 . 2让高度为X，重量为Y，我们可以通过边缘分布得到X和Y的分布(回想一下)。得到X和Y的期望值，分别是170和70。计算每个网格中的(x x) (y y) (x x) (y y)

10cm 170cm 180cm 60kg 1000-10070kg 00080kg-1000100以上两个表，对应的网格相乘求和得到协方差：

Cov(X，Y)=0.2100 0.2100 0.05(100)0.05(100)=30(1)(2)(1)Cov(X，Y)=0.2100 0.2100 0.05(100)0.05(100)

(2)=30

在上面的计算中，正相关的项目都分配有比较大的概率值。最终的协方差也是一个正值。

根据期望的性质，我们可以改写协方差的表达形式:

Cov(X,Y)=E(XY−XμX−YμX+μXμY)=E(XY)−E(X)μX−E(Y)μY+μXμY=E(XY)−E(X)E(Y)(3)(4)(5)(3)Cov(X,Y)=E(XY−XμX−YμX+μXμY)(4)=E(XY)−E(X)μX−E(Y)μY+μXμY(5)=E(XY)−E(X)E(Y)

当X和Y独立时，有E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)，Cov(X,Y)=0Cov(X,Y)=0。

(注意，Cov(X,Y)=0Cov(X,Y)=0并不意味着X和Y独立)

相关系数

正的协方差表达了正相关性，负的协方差表达了负相关性。对于同样的两个随机变量来说，计算出的协方差越大，相关性越强。

但随后一个问题，身高和体重的协方差为30，这究竟是多大的一个量呢？如果我们又发现，身高与鞋号的协方差为5，是否说明，相对于鞋号，身高与体重的的相关性更强呢？

这样横向对比超出了协方差的能力范围。从日常生活经验来说，体重的上下浮动大约为20kg，而鞋号的上下浮动大约可能只是5个号码。所以，对于体重来说，5kg与中心的偏离并不算大，而5个号码的鞋号差距，就可能是最极端的情况了。假设身高和体重的相关强度，与身高和鞋码的相关强度类似，但由于体重本身的数值上下浮动更大，所计算出的协方差也会更大。另一个情况，依然是计算身高与体重的协方差。数据完全不变，而只更改单位。我们的体重用克而不是千克做单位，计算出的协防差是原来数值的1000倍！

为了能进行这样的横向对比，我们需要排除用统一的方式来定量某个随机变量的上下浮动。这时，我们计算相关系数(correlation coefficient)。相关系数是“归一化”的协方差。它的定义如下:

ρ=Cov(X,Y)Var(X)Var(Y)−−−−−−−−−−−−√ρ=Cov(X,Y)Var(X)Var(Y)

相关系数是用协方差除以两个随机变量的标准差。相关系数的大小在-1和1之间变化。再也不会出现因为计量单位变化，而数值暴涨的情况了。

依然使用上面的身高和体重数据，可以计算出

Var(X)=0.3×(60−70)2+0.3×(80−70)2=60Var(X)=0.3×(60−70)2+0.3×(80−70)2=60

Var(Y)=0.3×(180−170)2+0.3×(160−170)2=60Var(Y)=0.3×(180−170)2+0.3×(160−170)2=60

ρ=30/60=0.5ρ=30/60=0.5

这样一个“归一化”了的相关系数，更容易让人把握到相关性的强弱，也更容易在不同随机变量之间，做相关性的横向比较。

双变量正态分布

双变量正态分布是一种常见的联合分布。它描述了两个随机变量X1X1和X2X2的概率分布。概率密度的表达式如下：

f(x1,x2)=12πσ1σ21−ρ2−−−−−√exp[−z2(1−ρ2)]f(x1,x2)=12πσ1σ21−ρ2exp⁡[−z2(1−ρ2)]

其中，

z=(x1−μ1)2σ21−2ρ(x1−μ1)(x2−μ2)σ1σ2+(x2−μ2)2σ22z=(x1−μ1)2σ12−2ρ(x1−μ1)(x2−μ2)σ1σ2+(x2−μ2)2σ22

X1X1和X2X2的边缘密度分别为两个正态分布，即正态分布N(μ1,σ1)N(μ1,σ1), N(μ2,σ2)N(μ2,σ2)。

另一方面，除非ρ=0ρ=0，否则联合分布也并不是两个正态分布的简单相乘。可以证明，ρρ正是双变量正态分布中，两个变量的相关系数。

我们现在绘制该分布的图像。可惜的是，现在的scipy.stats并没有该分布。我们需要自行编写。

选取所要绘制的正态分布，为了简单起见，让μ1=0μ1=0, μ2=0μ2=0, σ1=1σ1=1,σ2=1σ2=1。

我们先让ρ=0ρ=0，此时的联合分布相当于两个正态分布的乘积。绘制不同视角的同一分布，结果如下。可以看到，概率分布是中心对称的。

再让ρ=0.8ρ=0.8，也就是说，两个随机变量的相关系数为0.8。绘制不同视角的同一分布，结果如下。可以看到，概率分布并不中心对称。沿着Y=XY=X这条线，概率曲面隆起，概率明显比较高。而沿着Y=−XY=−X这条线，概率较低。这也就是我们所说的正相关。

现在，ρρ对于我们来说，有了更具体的现实意义。:-)

# By Vameifrom scipy.stats import normimport numpy as np# this function is to generate a pdf of bivariate normal distributiondef bivar_norm(mu1, mu2, sigma1, sigma2, rho):    # pdf of bivariate norm
    def pdf(x1, x2):        # get z
        part1 = (x1 - mu1)**2/sigma1**2
        part2 = - 2.*rho*(x1 - mu1)*(x2 - mu2)/sigma1*sigma2
        part3 = (x2 - mu2)**2/sigma2**2
        z = part1 + part2 + part3
        cof = 1./(2.*np.pi*sigma1*sigma2*np.sqrt(1 - rho**2))        return cof*np.exp(-z/(2.*(1 - rho**2)))    return pdf
pdf1 = bivar_norm(0, 0, 1, 1, 0)
pdf2 = bivar_norm(0, 0, 1, 1, 0.8)from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Dfrom matplotlib import cmfrom matplotlib.ticker import LinearLocator, FormatStrFormatterimport matplotlib.pyplot as plt# plot functiondef space_surface(pdf, xp, yp, zlim, rot1=30, rot2=30):
    fig = plt.figure()
    ax = fig.gca(projection='3d')
    X = np.arange(*xp)
    Y = np.arange(*yp)
    X, Y = np.meshgrid(X, Y)
    Z = pdf(X, Y)
    surf = ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=8, cstride=8,
         alpha = 0.3)
    cset = ax.contour(X, Y, Z, zdir='z', offset=zlim[0], cmap=cm.coolwarm)
    cset = ax.contourf(X, Y, Z, zdir='x', offset=xp[0], cmap=cm.coolwarm)
    cset = ax.contourf(X, Y, Z, zdir='y', offset=yp[0], cmap=cm.coolwarm)    for angle in range(rot1 + 0, rot1 + 360):
        ax.view_init(rot2, angle)
    ax.set_zlim(*zlim)
    ax.zaxis.set_major_locator(LinearLocator(10))
    ax.zaxis.set_major_formatter(FormatStrFormatter('%.02f'))
    ax.set_xlabel("X")
    ax.set_ylabel("Y")
    ax.set_zlabel("f(x,y)")    # fig.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=5)xp = [-3, 3, 0.05]
yp = [-3, 3, 0.05]
zlim1 = [-0.15, 0.15]
zlim2 = [-0.25, 0.25]
space_surface(pdf1, xp, yp, zlim1, 30, 20)
space_surface(pdf1, xp, yp, zlim1, 60, 45)
space_surface(pdf2, xp, yp, zlim2, 30, 20)
space_surface(pdf2, xp, yp, zlim2, 60, 45)

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