失控电梯回地球，欢乐无忧的氛围| 2021数字感观杯|高中项目|铜奖

作者：王秀玉、林家宇、谢雨桐/国立新竹女子高级中学「数感杯青少年写作比赛」为初高中学生提供了一个培养数学素养后发挥的绝佳舞台。本次比赛鼓励学生从不同领域学习，应用数学知识，培养和展示学生的逻辑思维和写作能力，并希望促进台湾省青少年的科普写作氛围和对数学的兴趣。本文是2021年数感杯青少年写作大赛/高中组专题报道的代表作。为了尽可能完整的呈现学生的作品，本文除了第一张图、标点符号和错别字外，没有做任何重大的编辑。

一、研究动机

年，罗德达尔富有想象力的故事使他成为儿童文学的领袖，其中《查理和旺卡的冒险故事》是他的经典代表作。他们乘坐的神奇电梯，堪比Space X的回收火箭，能够毫发无损地返回地球。所以我们想用数学计算把罗德达尔的想象变成未来科技的无限可能。

图//IMDb

二、研究目的

(1)试从现有数据中得出电梯的基本物理量。

(2)神奇的玻璃电梯能承受多高的温度和多大的变形才能安全返回地球？

(3)电梯如何从终端速度减速(和缓冲)到安全着陆？

三、故事简介

查理一家登上电梯后，旺卡先生会带他们回到巧克力工厂。为了做到这一点，旺卡打算在他工厂的屋顶上再撞一个洞。为了获得足够的势能，他驾驶电梯不断爬升。没想到旺卡先生不小心让电梯飞到了外太空！

四、研究过程

统一符号：

00-1010计算这个电梯的玻璃质量(1)计算电梯的表面积

电梯高度估算(带和不带屋顶):

根据画家画的电梯作为标尺，我们测量了乔治爷爷和有屋顶和无屋顶电梯的高度。

书封面接下来，我们将从乔治爷爷的高度来计算不带屋顶和带屋顶的电梯的高度。以下是计算过程：

7 : 10=179.75 3360 256.79(无屋顶电梯的高度)

3.5 : 4.7=256.79 3360 344.83(带屋顶的电梯高度)

底部面积估计：

根据泛科学：

参考雅各布人口估计法(广泛应用于人口集聚等调查)得出的\(\frac{3}{10000} \)人/cm2。

特大床是150厘米200厘米

底面积=510000/3 15020016666.67 30000=46666.67 cm2

上椎骨横向面积的估算：

根据电梯上述两个高度之差，金字塔地面高度为344.83256.79=88.04cm。

*高度(88.04厘米)和1/2电梯宽度(216.02 1/2=86.845)

毕奥定理表明，金字塔的边三角形的高度为\ (\ sqrt {88.04 {2} 86.845 {2} \约为123.67厘米\)

根据电梯底部面积，底部正方形的边长约为216.02cm

金字塔的侧面面积=216.02123.671/24=53430.39 cm2。

下长方体侧面面积估算：

已知身高256.79，底围216.02 4=864.08cm。

长方体侧面面积=256.79864.08=221887.1平方厘米

升降机的表面积 = 46666.67 + 53430.39 + 221887.1 = 321984.16cm²

(2)求玻璃整体的体积

∵ 一般玻璃规格最厚的厚度为 1.5cm

∴ 玻璃整体体积 = 321984.16 × 1.5 = 482976.24cm³

(3)换算为质量

∵ 一般玻璃密度为 0.0025kg / cm³

∴ 玻璃整体质量 = 482976.24 × 0.0025 = 1207.44kg

2. 推算所有人的质量

∵ 书中没有每位角色準确身高体重的数据

∴ 我们调查了饰演过不同角色的演员，并合理推估 BMI 算出相对应的体重

正常 BMI 取範围中间值，而过轻用符合值计算。（巴克一家是低收入户，在家中的老人小孩每天只有一碗包心菜汤，因此除了两位相对健壮成年人外，皆以过轻推算。）

∴ 人的总质量为 444.29kg + 升降机玻璃质量 1207.44kg = 1651.73kg

3. 推算升降机整体体积

(1) 角锥体积

正四角锥体积 = 1/3 × 底边² × 角锥高 = 1/3 × 216.02² × 88.04 = 1369511.21cm³

(2) 长方体体积

长方体体积 = 底边² × 高 = 216.02² × 256.79 = 4108533.63（底面积被设为正方形）

(3) 总体积

总体积 = 角锥体积 + 长方体体积 = 1369511.21 + 4108533.63 = 5478044.84cm³

（二）玻璃承受的温度

「再这样下去，我们自己也要被炸成油饼！被烤的像牛排那样！看看玻璃吧！它们比滋滋作响的油还烫呢！」约瑟芬奶奶大叫 (p.143)

「别怕，亲爱的女士」旺卡先生安慰：「我的升降机装了空调，有通风和充气设备，还有自动防护装置，我们不会有事的。」(p.143)

→就算旺卡先生的玻璃升降梯没有装设空调等的特殊设备，玻璃究竟要耐多高的温度，才能保护升降梯内乘客的安全呢？

1. 推算降落时的温度变化

(1)动能

初速v₁ = 0km / hr = 0m / sec

末速（书中描述降落过程的最大值）v₂ = 3200km / hr = 888.89m/ sec

升降机与人的总质量 = 1651.73kg

代入动能公式：K = 1/2m (v₂² – v₁²) = 1/2 × 1651.73 × (888.89² – 0²) = 652536939.98J

(2)换算热能，并推得温差

玻璃（板）的比热Ｓ= 0.84J / g ℃

升降机与人的总质量 = 1651730g

将动能的Ｊ换算成热能的 cal

依公式 K = H = mS∆T × 4.2

K = H = 1651730 × 0.84 × ∆T × 4.2 = 652536939.98J

∆T = 111.98

依科学的角度来看，约瑟芬奶奶只是在无病呻吟。因为经过热处理（强化）的玻璃，依然足够抵挡 150℃ 至 200℃的温度差。不过约瑟芬奶奶倒是说对了一件事，玻璃的确烫得可以煎牛排了！(只要 65-74℃ 就已达七分熟)

还有一件会让约瑟芬奶奶吓个半死的问题⋯⋯这座升降机会膨胀！

2. 膨胀后的体积

以下为热膨胀计算公式：

膨胀的量 = 原长(cm) × 热膨胀係数 × ∆T(℃)

玻璃的线性膨胀係数为 9 × 10^-5，∆T（由以上可得知）为 111.98℃

∴ 膨胀的量 = 原长(cm) × 0.01

(1) 角锥体积

原角锥体积 = 1/3 × 底边² × 角锥高 = 1/3 ×216.02² × 88.04 = 1369511.21cm³

膨胀后角锥体积

= 1/3 膨胀后底边² × 膨胀后角锥高

= 1/3 × (216.02 + 2.16)² × (88.04 + 0.88)

= 1/3 × 218.18² × 88.92 = 1410938.47cm³

(2) 长方体体积

长方体体积 = 底边² × 高 = 216.02² × 256.79 = 4108533.63cm³

膨胀后长方体体积 = 膨胀后底边² × 高

= (216.02 + 2.16)² × (256.79 +2.56)

= 218.18² × 259.35cm³ = 12345711.59cm³

(3) 总体积

总体积 = 角锥体积 + 长方体体积 = 1369511.21 + 4108533.63 = 5478044.84cm³

膨胀后总体积 = 膨胀后角锥体积 + 膨胀后长方体体积 = 1410938.47 + 12345711.59 = 13756650.06cm³

可得知整座升降机会膨胀，而且膨胀的量值十分可观，怪不得约瑟芬奶奶如此害怕。

（三）回到巧克力工厂

如果减速了，当初的位能就无法完全转换成动能冲破屋顶。因此我们想了一个解决之道：让玻璃升降机通过原本的洞，再落入巧克力河中，用其浮力抵销庞大的冲击力。

我们使用 excel 表格算出玻璃升降梯的终端速度，以下是我们在 excel 中使用的公式以及其推论：

我们把起始高度设为大气层高度 1000km，h = h₀ – (v₀t + 1/2at²)

加速度距离公式：v = v₀ + a∆t

速度公式：F_d = 1/2C_d × D × A × v²

空气阻力公式：F = ma

牛顿第二运动定律：F_net = F – F_d = ma – (1/2C_d× D × A × v²)

净力：a_effective = F_net / m

有效加速度：如果将大气密度看成一个一次线性函数

设 y = ?x + ? (y = D, x = h)，d_g 为接近海平面之大气密度，约为1.2255kg/m³

(0, d_g) 和 (h₀, 0) 为线上两点，代入得一次方程式

d_g = ? × 0 + ? ⇒ ? = d_g

0 = ? × h₀ + ? ⇒ ? = -d_g / h₀

将 ? = -d_g / h₀ ，? = d_g ，y = D，x = h 代入，得高度与大气密度完整方程式如下：D = -d_g / h₀ × h + d_g = d_g (1 – h / h₀)

9.64km 为地球半径，而重力与离地球高度有关係：

9.8 = GM / 6400²，a = GM / (6400 + H)² ，将 9.8 除以 a ，以求他们的关係式。

9.8 / a = (GM / 6400²) / [GM / (6400 + h)² ] ⇒ 移项简化后得 9.8 × 6400² / (6400 +h)²

接下来是终端速度，也是我们画 excel 表的最终目的。终端速度是在中和了空气阻力后，达到的速度平衡状态。如下表所示，玻璃升降梯的终端速度大约是 140m/s，但是如果以这个速度降落的话⋯⋯大家都会变成一团肉泥！！！好险在兵荒马乱之际，聪明的查理想到一个好办法：

「威力汪卡先生！我们需要减速！！立刻开启减速器！！！」查理吶喊。 「啊！亲爱的孩子，一切都在我的掌控当中，但是我们要减到多少速度才能安全降落呢？」旺卡先生问。

约瑟爷爷眼睛一亮的说「查理，我们去参观工厂时看到的巧克力河能不能派上用场呢？」 查理：「对！爷爷你说的没错！我们可以用它来做个缓冲。」威力旺卡先生，你可以打电话给温帕伦普斯人（工厂员工小矮人），请他们关掉动力，让巧克力河变成一座深不见底、无边际的巧克力潭吗？赶快！我们没有时间了！」

「没问题！包在我身上！」旺卡先生拍胸保证。

「我记得物理课时学过，人类高空跳水最高纪录是 30m，不然我们用这个试试看。」查理补充道：「根据力学能守恆，1/2mv² = mgh经过移项得 v = \( \sqrt{2gh} \)（取正值），因此我们的速度必须降到 \( \sqrt{2\times 9.8\times 30}\approx 24.25(m/s) \) 快拉减速拉桿，就是现在！」

「那我们会不会沉进巧克力河里？喔天啊，我还不想死！」约瑟芬奶奶哀号。

「别担心！威力旺卡先生告诉过我，plain chocolate 的流体密度大约是 1.31625g/cm³，（根据第一部分，讨论玻璃升降梯的基本物理量）我们玻璃升降梯的密度是 m=DV，得 1651730g = D × 5478044.84cm² ，得 D = 0.30151g / cm²。0.30151 < 1.31625，因此我们会是浮体，用不着担心的。」查理替大家说明。

砰！一声巨响打破向来平静而神祕的巧克力工厂。整个巧克力河沿岸的软糖草皮都被覆盖在喷溅出的巧克力中，温帕伦普斯人划着粉红色硬糖船迎接他们的到来。

「我果然没看错，你就是我工厂的继承人！」旺卡先生高兴地再次宣布：「因为你的冷静分析和数学能力，才得以在千钧一髮之际救大家一命，我相信你一定会成为很棒的继承人！」威力旺卡眼中满是骄傲和宽慰。

资料来源

• 钦大：玻璃小知识 （玻璃热膨胀係数）
• List ofCharlie and the Chocolate Factorycharacters（巧克力工厂电影演员）
• 玻璃比热
• How Much Does a Mattress Weigh?（king size bed 重量）
• The Density of Chocolate（巧克力密度）
• 群众人数，怎么估比较专业？（一人站立的截面积）
• Royal College of Paediatrics and Child Health
• 高一泰宇版物理课本

• 台湾杰出女科学家系列专访，持续更新中！