72法则是什么、计算公式以及计算多久可以翻倍的技巧

如果你想快速评估一个东西的报酬率、一个东西多久回本，就可以使用72法则，
由于报酬率涉及复利，也涉及非整数的百分比、小数点，因此大多数用计算机完成，
72法则是一种速算的方式，虽然无法达到100%精确，但是可以让你在短短几秒内用心算快速算预估出报酬率、回本时间。

72法则是什么意思？

72法则定义是计算复利的简单速算版本，可以用72法则快速计算出预计的投资本金翻倍时间，或者用成果回推预计年化报酬率。

72法则又称为复利72法则，最初是假设以1%报酬复利计算，经过72年后，本金就会翻成1倍。

最早提出72法则的人，是义大利著名的数学家卢卡·帕乔利(Luca Pacioli)，他在1494年的《算术、几何、比例总论》一书中，提出了这个概念，后来也被喻为会计之父。

72法则是一种简单的速算方法，可以根据年化报酬率，计算投资翻倍所需的时间，数学不好的人也能轻松计算，
但是使用时必须特别注意，这只是一个速算的方法，并非100%准确，
它最准确的数值是在8%利率(报酬率)的时候，如果离8%越远，结果就会越不准确。

72法则公式怎么计算？

72法则公式(计算本金翻倍的时间) ： 72 ÷ 年化报酬率= 本金翻倍的时间

72法则公式(计算报酬率) ： 72 ÷ 本金翻倍投资时间= 年化报酬率

72法则有3个元素，3个元素彼此之间关系如上面的公式：

1. 年化报酬率%
2. 报酬翻倍时间
3. 72这个数字。

72法则是一个非常基本的公式，
只要将数字72除以年化报酬率，就能计算出本金翻倍的时间；
如果把数值相反，变成72除以本金投资时间，就能计算出年化报酬率。

计算时你必须知道固定的复合年利率是多少，或是知道投资翻倍的时间是几年，

例如：

1. 速算本金翻倍的时间(大约值) ：

第一个例子，假设年化报酬率8%，那么可以速算出，本金要9 年才能翻倍，计算公式：72 ÷ 8 = 9

验算： 1 * ( 1+ 8%) ^9 = 199.90046% 接近200%，代表用8%报酬率复利投资9年，扣除本金以外，本金成长了1倍。

如果将改为年化报酬率10%，那么这个投资大约在7.2年时间翻倍(72 ÷ 10 = 7.2)；

如果年化报酬为12%，投资的金额大约6年内翻倍(72 ÷ 12 = 6)。

第二个例子，假设你有100,000 元可以投资、年化报酬率为7%，你想知道本金需要多长时间才能达到200,000 元(翻倍)？

答案就是：大约10.28年才会翻倍到200,000 元。

计算方法：72 ÷ 7 = 10.28 (年)

验算： 100,000 × (1+7%)^(10.28) = 200,477.3 意思是7%报酬率之下经过10.28年，本金会从10万增加到20万出头，增加了一倍。

2. 计算报酬率(大约值) ：

第一个例子：
假设某一个投资，经过9年后价值翻了一倍，那年化报酬率是多少呢？答案是8% ，计算公式：72 ÷ 9 = 8

第二个例子：
假设有100,000 元可以投资、想在4年翻倍到200,000 元，要投资年化报酬率多少的商品？
答案就是：要选择年利率有18%的商品，才会在4年内翻倍到200,000 元。
计算方法：72 ÷ 4 = 18 (%)

进阶的例子：
很多时候我们不会得知刚好翻倍的年份，但仍可以大致估算。

例如假设某一个投资，经过15年，从10万元成长到80万元，报酬率是多少？

10万成长到80万，等于翻倍了3次，10万翻倍20万，20万翻倍40万，40万翻倍80万，
一共投资15年，因此平均5年翻倍一次(第一个5年从10万到20万，第二个5年从20万到40万，第三个5年从40万到80万，共15年)。

72 ÷ 5 = 年化报酬率14.4%

验算： 100000 ×(1+14.4%)^15 = 755298.8 虽然和80万有误差，但也不至于差很多。
真正正确的报酬率是14.87%，和14.4%不同，但14.4%用心算就可以几秒算出来，14.87%却要用计算机才可能算出来。

用72除以报酬率，就可以知道翻倍要多久(时间)，或是72除以翻倍多久(时间)，就可以得到报酬率。

72法则怎么用？投资多久可以翻倍？

72法则可以用在计算复利的状况，包括任何以复合成长率成长的事物，
例如人口、宏观经济数据、收费或贷款、共同基金的年费、信用卡利息、通货膨胀翻倍时间、学生贷款的利率…等都很常使用。

72法则运用方式：

• 如果通货膨胀以每年3%的速度增长，那么物价约在72 ÷ 3 = 24 年内翻1倍。
• 如果通货膨胀率下滑到2%，物价约在36年内翻1倍。
• 如果通货膨胀率上升到4%，物价约在18年内翻1倍。
• 如果国内生产总值(GDP)以每年4%的速度增长，预计经济约在18年内翻1倍。
• 如果大学学费以每年5%的速度成长，那么学费约在4年内翻1倍。
• 如果你为信用卡支付17%的利息，欠款约在2年内翻1倍。
• 一个每年收取3%费用的共同基金，没有报酬的情况下，约在24年左右将你的投资本金减少到一半。

如果想知道投资要多久可以翻倍，就套用前面的公式，用72 ÷利率，就是n年翻倍的时间，它可以用来算预估报酬率、速算预估回本时间。

72法则利率&投资时间翻倍计算法：

• 利率1%：你的钱需要72年翻倍(72 ÷ 1 = 72)
• 利率2%：你的钱需要36年翻倍(72 ÷ 2 = 36)
• 利率3%：你的钱需要24年翻倍(72 ÷ 3 = 24)
• 利率4%：你的钱需要18年翻倍(72 ÷ 4 = 18)
• 利率5%：你的钱需要14.4年翻倍(72 ÷ 5 = 14.4)
• 利率6%：你的钱需要12年翻倍(72 ÷ 6 = 12)
• 利率7%：你的钱需要10.28年翻倍(72 ÷ 7 = 10.28)
• 利率8%：你的钱需要9年翻倍(72 ÷ 8 = 9)
• 利率9%：你的钱需要8年翻倍(72 ÷ 9 = 8)
• 利率10%：你的钱需要7.2年翻倍(72 ÷ 10 = 7.2)
• 利率11%：你的钱需要6.54年翻倍(72 ÷ 11 = 6.54)
• 利率12%：你的钱需要6年翻倍(72 ÷ 12 = 6)

72法则在运用时，有几个重点要注意：

1. 72法则只适用于计算复利而非单利的情况。(单利计算直接乘除就好)
2. 72法则对于6%～10%的利率准确度较高。
3. 72法则并不是100%准确，一个简单的经验法则认为，当利率每偏离8% (72法则理想范围的中间值)的3个点，就在72中加或减“1”，例如在非常高的利率下，使用数字78会比72有更准确的结果；对于较低的利率，则使用69或70更准确。
4. 除了72法则之外，还有衍生出71法则、70法则和69.3法则，这些都是用来预测投资倍增或减半所需的时间，也都在计算复利的结果。

为什么是72这个数字？

72这数字是可以由数学证明推导出来的，但数学证明推导出来是69.3，
不过69.3不好用，且估计仍会有误差，因此就取一个公因数更多的整数72，更方便做心算。

详细推导证明有兴趣可以看下一段。

72法则的证明推导公式

市场先生提示：除非你是数学系的，否则我觉得这段可以跳过，知道用法就好，
推导过程我列在下面，有兴趣自己研究啰：

72法则的证明推导公式：

第1步： 1 × (1+r)^n = 2 (1元经过报酬率r 复利n年会变2元、2倍)

第 2 步：(1+r)^n = 2  (1可以省略)

第3 步：ln((1+R)^n) = ln(2) (取两边的自然对数)

第4 步：n × ln(1+r) = 0.693 (把ln2算出来，也把^n可以从ln中移出来，不懂的自己回去看高中数学课本)

第5 步：n × r = 0.693 ( ln(1+r) = r 的近似值，这是仅限于r接近0附近才成立的假设 )

第6 步：n = 0.693 ÷ r (移项)

第7 步：n = 69.3 ÷ r (将r ×100 转换为整数而不是小数)

算出来是69.3，不是72。
虽然这样会有误差，但其实用69.3也一定有误差，主要是ln(1+r) = r 这一步做了简化。实际上ln(1+r)不等于r ，只是大略接近而以。

在报酬率10%以上，用72去除其实会比69.3更准确，总体来说72更好做心算速算，所以就变成72法则了。

从公式限制也可以知道，年化报酬率在越接近0%，例如1%、2%、3%时，72法则或69.3都相对精准，
可是一旦报酬率数字越大，就会越失准。

快速重点整理：72法则是什么意思？

1. 72法则是一种简单的速算法，可以速算出预计的本金翻倍时间、预计报酬率。
2. 72法则只适用于计算复利而非单利的情况，对于6%～10%的利率准确度较高。
3. 72法则并不是100%准确，经验法则认为当利率偏离8%之后，误差会越来越大。
4. 72法则可以用在计算复利的状况，主要是用来速算预估报酬率、速算预估回本时间，像是用来计算通货膨胀翻倍时间、信用卡债务、汽车贷款、住房抵押贷款、学生贷款的利率…等都很常使用。