数学需要的不是天赋,而是少量的自由想象，数学来源于人的头脑自由的创造

作者/苏原作者/Francis Su译者/毕数学中的第四个自由是想象的自由。

如果探索是在寻找已经存在的东西，那么想象就是在构建新的想法，或者至少是为你构建新的想法。所有在沙滩上建过沙堡的孩子都知道一桶沙的无限潜力。同样，康托尔也曾说过，“数学的本质在于它的自由。[3](康托尔在19世纪后期做出了开拓性的研究成果，使我们第一次对无穷的本质有了清晰的认识。)

他的意思是，数学和科学不一样，数学和具体的对象没有必然的联系，所以数学家在可以研究的学科上不像其他科学家那样受到限制。数学探索者可以用她的想象力来建造她心目中的任何数学城堡。

拓扑学带领我们进入想像的空间

我的拓扑课教想象的练习。如前所述，拓扑学在研究受到连续拉伸的几何对象时，会保持相同的性质。

如果我在没有引入或移除“洞”的情况下变形了一个对象，那么从拓扑学的角度来看，我没有改变它。所以足球和篮球在拓扑上是一样的，因为一个形状可以转化成另一个形状；另一方面，甜甜圈和足球在拓扑上是不同的，因为你要在足球上戳一个洞才能把它变成甜甜圈。

拓扑学是一个非常有趣的话题，因为我们可以用奇怪的方式剪切、粘合或拉伸东西，做出各种奇妙的形状。我们经常想象在这些形状中行走，所以我们称它们为空间。

拓扑学爱好者非常乐于想象自己的奇异空间，通常是为了回答一个奇怪的问题，比如“有没有一个物体存在这样或那样的病理状态？.是的，我们在数学中用病态这个词来描述奇怪的或者反常的表现，就像在医学中一样。)那我就用脑子想个例子。

比如有韦达的湖泊：三个相连的区域(“湖泊”)，可以画在一张地图上，边界完全相同；其中一个湖的边缘上的任何一点都必须在所有三个湖的边缘上。这种建筑是以发明它们的数学家和田武夫的名字命名的。还有夏威夷耳环，这是一个华丽的物体，上面有无数个更小的环，都与一个点相切。[4]

这张分形图有三个区域(暗、中、亮“湖”)，边界相同，但与原、田湖不同的是，图中的每个湖都是由不相连的水池组成的。图/13生而为人的数学课。夏威夷耳环。图/13生而为人的数学课。

亚历山大角球的病态空间

病态空间有一个众所周知的例子(至少在数学家中)，这就是亚历山大角球。球是一个气泡状的曲面，正球表面的空间具有“单连通”的性质，大致意思是，如果你在球的表面拿一根绳子，把两端绑在一起做一个圆，绑好的圆不会卡在球上，随时可以从球上取下，与球分离。甜甜圈就很不一样了。甜甜圈表面的空间不是单连的：如果你把绳子的一端穿过甜甜圈中心的孔，把两端绑在一起，你就不能把绳圈从甜甜圈里拿出来。)

1924年，J. W. Alexander在想象他的角球时，思考了一个问题：有没有可能用某种奇怪的变形方法，使气泡上两个不同的点永远不会碰撞，但气泡表面的空间不是简单连通的？

起初，亚历山大认为任何变形气泡的表面一定是单连通的。[5]但是后来他举了一个例子，曲面不是单连通的！他的假想结构可以这样描述(这不完全是他的结构，但在拓扑学上是一样的):取一个气泡，挤出两个“角”，然后从每个角挤出一对捏手指，让这两对捏手指几乎扣在一起。因为被捏的手指并没有完全相互接触，所以可以在更小的范围内重复这一步，从前几组手指中挤出一对微小的被捏手指，互锁但不完全相互接触。如果你继续这样做，到极限，你会得到亚历山大角球。

绕在其中一个初始角底部的绳圈不能脱离角球，因为这是互锁指钳的极限过程。如果手指钳在某一阶段结束，没有达到极限，绳圈很容易脱落。这种惊人的结构不仅需要想象力去思考，还需要想象力去验证角球在极限还是球。

亚历山大角球。图/13生而为人的数学课。你可以想象放大图片来看连续层次的捏角的破碎本质：在每一个细节层次，场景看起来都是一样的。

想像力是我们的超能力

思考

像的自由为数学注入了梦幻般的特性。许个愿，瞧！你的梦想成真了。

如果在每个阶段我们都有机会运用想像力，数学学习的乐趣会多出多少？你不必从事高等数学，就能运用想像力。

在算术中，我们可以尝试建构出带有奇特性质的数；能被你出生年月日的所有数字整除的最小数字是多少？你能不能找出连续十个不是质数的数？

在几何学中，我们可以设计出属于自己的图案，探究它们的几何性质；你喜欢的图案里有哪些对称性？

在统计学中，我们可以考虑一个资料集，想出有创造力的视觉化方法；哪些方法的特点最好？

如果你是从枯燥的教科书上学数学，那就看看能不能把问题改造一下，以提升你的想像力，这么做就是在让你锻鍊想像的自由。

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