数学上，数字的数量是无限的，大小也是无限的。无论这个数有多大，你都可以找到比它更大的数。假设M是一个巨大的数，即使这个数加上0.0001，得到的M 0.0001也会比M大，同理，无论这个数有多小，你都能找到一个比它小的数，只要从中减去一个大于0的数就可以了。

所以数学上没有最大数和最小数。然而，数学家们发现了一些非常大而有意义的数字，这可能是不可想象的。另一方面，你可以在一个非常大的数上加一个负号得到一个非常小的数，所以求最小的数就相当于求最大的数。那么，数学家发现的最大有效数是多少？

最大的数

要构造一个大数，很多人可能会先想到指数或者阶乘。9 ^ 128相当于1.3910 ^ 122，128！相当于3.8510 ^ 215，这两个数字已经远远超过了哈勃体积的粒子总数(10 ^ 80)。但是在数学上，有一些方法可以构造更大的数字，比如Gartner arrow符号：

根据上面的公式，如果a=3，而b=5，当n=1时，我们可以得到：

35=3^5=33333=243

当n=2时，数字35的大小会急剧增加：

35=3^3^3^3^3=3^3^3^27=3^3^76255974849873^(1.25810^3638334640024)

3859385938593

数学家葛立恒在解决与拉姆齐两着色定理有关的问题时，发现了一个在当时被认为是最大的数，后来被称为格雷亨数。这个数字太大了，而且它的表示法很特殊，如下：

从下到上，每一层的数字表示上一层的箭头数。第一层是：

g(1)=33=3[33]

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就g(1)而言，这个数太大了，不能用常规的方法来表示。到了第二层，箭头的数量就变成了g(1)，这一层的箭头数量会增加的更多。格力恒号总共64层，每增加一层，数量会急剧增加。葛力恒的数量超乎想象。如果要完全展开这个数字，在直径为930亿光年的哈勃体积中的每一个最小的普朗克空间(4 10-105立方米)里写一个数字，将是远远不完整的。

后来数学家发现了格雷亨数以外的数，当然不是“格雷亨数1”或“格雷亨数格雷亨数”，因为这些数没有任何意义。这个较大的数与矩阵树定理中的树函数有关，树函数是一个增长极快的函数。

树函数增长有多快？树(1)=1，树(2)=3。乍一看，这个功能不怎么样。然而在TREE(3)中，这个数字突然爆炸到了令人难以置信的巨大程度。树(3)等于格雷亨数，就像格雷亨数等于1一样。

树(3)的最大记录也被打破了，因为有比树函数增长快得多的SSCG函数。SSCG(0)=2，SSCG(1)=5。这个函数一开始也增长缓慢，但是SSCG(2)已经到了3 2 (3 2 95)-8，相当于3后面跟着3万亿个零。到了SSCG，这个数字已经远远超过了TREE(树(.树(3).))，嵌套层数总和为TREE(3)，格雷亨数在其前面小到几乎为零。SCG是一个类似于SSCG的函数，它的增长速度甚至更快，SCG(3)甚至大于SSCG(3)。

00-1010如果要说数学中最小的数，可以在SCG(3)上加一个负号。-SCG(3)可以小得令人难以置信。如果说科学意义上的最小数，各种普朗克单位都很小，比如上面说的1普朗克空间，数量级在10-105。可以小到0，也就是0开尔文的绝对零度，但这个温度在现实中是达不到的。