最早使用分数的国家是中国，比其他国家要早一千多年。在《左传》一书中记载，春秋时代，诸侯的城池最大不能超过周文王国的三分之一，中等的不得超过五分之一，小的不得超过九分之一。秦始皇时期，拟定了一年的天数是365又四分之一。《九章算术》是我国1800多年前的数学专著，其中第一章《方田》里就讲了分数的四则运算。
我国古代的分数表现形式与现在的分数写法不大一样。比如三分之二是用算筹上下排列来表示，分子2在上面，下面是分母3。后来古印度也出现了与我国类似的分数表示法。再往后，阿拉伯人发明了分数线，分数的表示法就成现在这样了。
为什么叫它分数呢？东汉时期的许慎在《说文解字》中记载：“分，八刀也。”即“分”字是八和刀组合而成。例如，一个西瓜四个人平均分，把它分成相等的四块，每块就是这个西瓜的四分之一。两百多年前，瑞士数学家欧拉在《通用算术》一书中说，要想把7米长的一根绳子分成三等份是不可能的，因为找不到一个合适的数表示它。现在如果我们把它三等分，那么每份是三分之七米。
可见分数是为了解决日常生活中发现的问题和数学本身的需要而产生的。
分数是小学数学的一个难点。要攻克这个难关，需要掌握分数的概念、意义和相关知识点。单纯说理论未免枯燥，还是让我们来看几道有趣的分数应用题吧。
【例题1】一杯水结成冰，体积增大10分之1，问当它又融化为水的时候，体积减少了几分之几？
解析：
分数可能是一个具体的数，也可能是表示若干个与单位“1”有关的分数单位。根据题意，题目中出现的分数不是具体的数，而是表示与单位“1”密切相关的数量关系。例如，题目中的10分之1，表示的数量关系是把一杯水的体积看成单位“1”，把单位“1”平均分成10份，这是分母，10中的1份，这是分子。这个题目，出题老师主要考察的是同学们能否正确理解单位“1”，以及掌握单位“1”在题目中不同条件下的变化情况。
题目问的是，当这杯冰融化为水后，体积减少了多少？注意，此时的单位“1”变了，与前面的单位“1”不一样了。这是解题的关键。
假设这杯水的体积是10份，那么分数10分之1的单位“1”就是10份水。根据题意，水结成冰，体积增大10分之1，那么冰的体积就是11份，所以，要我们求的体积减少了几分之几，这个分数的单位“1”变了，变成了11份冰。题目实际上问的是11份冰融化成10份水后，体积减少了几分之几？因为单位“1”变了，所以回答减少了10分之1就错了。因为单位“1”是11份冰，减少了1份，所以正确答案是减少了11分之1。
题目告诉我们，一杯水结成冰，体积增大10分之1，当它融化为水以后，体积减少了11分之1。
这个题目也可以举例论证。假设这杯水有100毫升，结成冰，体积增大为110毫升。再次融化为水，体积减少为100毫升。问体积从110毫升减少到100毫升，减少了几分之几？
110毫升可以分为11份，每份10毫升，减少了10毫升，当然就是减少了11分之1。
如果说具体的数，水变冰，增大10毫升，冰变水，减少10毫升。两个量相等。但题目中的分数不是具体的数，所以，因为单位“1”不同，两个分数也就不相等。
【例题2】某工厂有两个生产大班，分别是甲班和乙班。乙班人数是甲班的7分之3。因为生产需要，从甲班抽调30人到乙班以后，乙班人数是甲班的3分之2。问甲班和乙班原有多少人？
解析：
我们用数形结合的方法来解题。
甲班□□□□□□□乙班■■■甲班□□□□□□……—30乙班■■■■ …… 30
我们不知道甲班和乙班有多少人，但是据题意，可以把两个班的人平均分为10份，甲班有7份，乙班有3份。
抽调人员后，甲班人数减少了30人，乙班人数增加了30人，乙班人数是甲班的3分之2。3分之2可以扩比为6分之4，这样两个班的总人数还是可以分为10份，甲班下降为6份，乙班增加为4份。现在，解题的关键是求出一份有多少人就能够得到答案了。
观察上面的图形，我们发现，甲班减少30人就减少了1份，乙班增加30人，就增加了1份，所以，1份有30人。于是，甲班原有7×30=210人，抽调30人以后，还有210-30=180人；乙班原有3×30=90人，接收30人后，增加到90 30=120人。
解题技巧是利用扩比调整比例，让两个班的总人数在人员调整前后都可以分为10等份。因为两个班的总人数不变，求出一份的人数后就得到了答案。数形结合的方法帮助我们理清思路，正确分析题目提供的已知条件，找到解题的关键。
【例题3】老张买了两件古董。一段时间后，因为急需用钱，就把这两件古董都用600元的价格卖出。其中一个交易赚了5分之1，另一个交易赔了5分之1。问：这两件古董卖出后，算总账，老张是赚还是赔？如果赚，赚了多少元？如果赔，赔了多少元？
解析：
分数应用题来源于一个数乘以分数的意义，一个数乘以分数表示求一个数的几分之几是多少，用数量关系表示就是：
单位“1”的量×分率=分率所对应的具体量。
这一数量关系中有三个数量，由此发展成为分数应用题的三种基本类型，各自的解法分别是：
单位“1”的量×分率=分率所对应的具体量（类型1）
分率所对应的具体量÷分率=单位“1”的量（类型2）
分率所对应的具体量÷单位“1”的量=分率（类型3）
举例：三年二班有40名同学，其中男生24人，男生占全班人数的几分之几？
（类型3）答：24÷40=5分之3
三年二班有40名同学，男生占全班人数的5分之3，男生有多少人？
（类型1）答：40×5分之3=24
三年二班有24名男生，男生占全班人数的5分之3，全班有多少人？
（类型2）答：24÷5分之3=40
回到本题，解题关键还是正确理解单位“1”。
这两件古董，一个买入价比600元高，它的价格是单位“1”；另一个买入价比600元低，它的价格是单位“1”。
据题意可得，赔了的交易，买入价高于600元，设它的价格为天。因为赔了5分之1，所以可得方程：
天×（1-5分之1）=600
由类型2的公式可得
600÷5分之4=天
天=600×5÷4=3000÷4=750（元）
据题意可得，赚了的交易，买入价低于600元，设它的价格为地。因为赚了5分之1，所以可得方程：
地×（1 5分之1）=600
由类型2的公式可得
600÷5分之6=地
地=600×5÷6=3000÷6=500（元）
于是，答案就水落石出了。一个交易赚了100元，一个交易赔了150元。算总账，赔了，赔了50元。
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
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