什么是线性，微分方程线性和非线性的区别

来源：量化研究方法（ID：phdthink）

非线性是自然界复杂性的典型性质之一，那么你对非线性了解多少呢？以下可见一斑：

什么是非线性

非线性(non-linear)，即 变量之间的数学关系，不是直线而是曲线、曲面、或不确定的属性，叫非线性。非线性是自然界复杂性的典型性质之一；与线性相比，非线性更接近客观事物性质本身，是量化研究认识复杂知识的重要方法之一；凡是能用非线性描述的关系，通称非线性关系。

狭义的非线性是指不按比例、不成直线的数量关系，无法用线性形式表现的数量关系，如曲线、曲面等。而广义上看，是自变量以特殊的形式变化而产生的不同于传统的映射关系，如迭代关系的函数，上一次演算的映射为下一次演算的自变量，显然这是无法用通常的线性函数描绘和形容的。很显然，自然界事物的变化规律不是像简单的函数图像，他们当中存在着并非一一对应的关系。如果说线性关系是互不相干的独立关系，那么非线性则是体现相互作用的关系，正是这种相互作用，使得整体不再是简单地全部等于部分之和，而可能出现不同于"线性叠加"的增益或亏损。

线性与非线性的区别

非线性是相对于线性而言的，是对线性的否定，线性是非线性的特例，所以要弄清非线性的概念，明确什么是非线性，首先必须明确什么是线性，其次对非线性的界定必须从数学表述和物理意义两个方面阐述，才能较完整地理解非线性的概念。

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线性

对线性的界定，一般是从相互关联的两个角度来进行的：其一，叠加原理成立：“如果ψl，ψ2是方程的两个解，那么aψl bψ2也是它的一个解，换言之，两个态的叠加仍然是一个态。”叠加原理成立意味着所考察系统的子系统间没有非线性相互作用。其二，物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量，这意味着函数的斜率在其定义域内处处存在且相等，变量间的比例关系在变量的整个定义域内是对称的。

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非线性

在明确了线性的含义后，相应地非线性概念就易于界定：

其—，“定义非线性算符N(φ)为对一些a、b或φ、ψ不满足L(aφ bψ)=aL(φ) bL(ψ)的算符”，即叠加原理不成立，这意味着φ与ψ间存在着耦合，对(aφ bψ)的操作，等于分别对φ和ψ操作外，再加上对φ与ψ的交叉项(耦合项)的操作，或者φ、ψ是不连续(有突变或断裂)、不可微(有折点)的。

其二，作为等价的另—种表述，我们可以从另一个角度来理解非线性：在用于描述—个系统的一套确定的物理变量中，一个系统的—个变量最初的变化所造成的此变量或其它变量的相应变化是不成比例的，换言之，变量间的变化率不是恒量，函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方，概括地说，就是物理变量间的一级增量关系在变量的定义域内是不对称的。可以说，这种对称破缺是非线性关系的最基本的体现，也是非线性系统复杂性的根源。

对非线性概念的这两种表述实际上是等价的，其—叠加原理不成立必将导致，其二物理变量关系不对称；反之，如果物理变量关系不对称，那么叠加原理将不成立。之所以采用了两种表述，是因为在不同的场合，对于不同的对象，两种表述有各自的方便之处，如前者对于考察系统中整体与部分的关系、微分方程的性质是方便的，后者对于考察特定的变量间的关系(包括变量的时间行为)将是方便的。

关于非线性概念需要强调的是，线性或非线性的提法是相对于物理变量而言的，也就是说，只有物理变量的关系才是判断是否是非线性的根据，而非物理变量的关系不能成为非线性与否的判据。这里所说的物理变量是指那些可以观测的、人们感兴趣的、对人类有意义的变量。例如分形理论中，简单分形的分维D是恒量，在无标度区间内lnN=DlnL，lnN与lnL是线性关系，但是显然不能籍此得出简单分形是线性的结论。这里的物理变量是N和 L，而不是经过对数变换的nN与lnL，即人们可观测的、感兴趣的、对人们有意义的是N和L，而不是lnN和lnL，N与L的关系N=LD是非线性的，所以可得出分形是非线性的结论。再如，物价对时间的直接关系(而不足Mandbrolt所统计的棉花价格指数的无标度性)正是人们感兴趣的、对人们有意义的，而且两者的关系是非线性的，所以物价随时间的变化是一种非线性现象。

非线性的性质

非线性科学正处于发展过程之中，它所研究的各门具体科学中的非线性普适类，有已经形成的 (如混沌、分形、孤子)，有正在形成的(如适应性与自涌行为)，还会有将要形成的，所以非线性的性质还没有完全呈现出来，这里也就不可能全面地讨论非线性的性质。下面仅从“非线性与线性的关系”、“非线性的物理机制”和“非线性与稳定性”三个方面作初步探讨。

非线性与线性是相对而言的，两者是一对矛盾的概念，一方面两者在一定程度上可以相互转化，另一方面两者又存在本质区别，再者两者同时存在于—个系统中，规定着系统相应方面的性质。

(1) 非线性与线性的密切联系

首先，在数学上一些线性方程可转化为非线性方程来解。物理上的一些非线性问题，也可以通过数学变换而转化为线性方程来研究。如非线性的KdV方程通过散射反演方法化为线性的可积方程，从而求出了精确的解析解；一些非线性不强的问题，可用线性逼近方法将其转化为若干线性问题来求近似解，这是已在各门学科中广泛采用并相当有效的的方法。

其次，在某些情况下，由方程得到的解析解并不能提供更多的信息，无助于更好地理解系统的行为，而从解的非线性形式中，我们却可以方便地得到所研究系统的重要性质。如：考虑这样一个简单方程：d2X/dt² X=0，它的解是X=Acos(t) Bsin(t)，从这个非线性形式中，我们容易知道它是个周期函数，满足cos(t 2π)=cos(t)，sin(t 2π)=sin(t)。而从cos(t)和sin(t)的解析形式中，极难证明其具有相应的周期性这一重要性质。所以，认为线性方程可以得到解析解， 非线性方程难以得到解析解，因而线性能给出比非线性更多的有用信息是不确切的。这意味着，对某些问题从非线性的角度考察不仅是可能的，而且有时也是必要的。

所以，线性与非线性在一定程度上是可以相互转化的，这表明了线性与非线性之间有密切的联系。

(2) 非线性与线性的本质区别

非线性与线性虽然可以通过数学变换而相互转化，在数学上有一定的联系，但是在同一视角、同一层次、同一参照系下，非线性与线性又是有本质区别的。

在数学上，线性函数关系是直线，而非线性函数关系是非直线，包括各种曲线、折线、不连续的线等；线性方程满足叠加原理，非线性方程不满足叠加原理；线性方程易于求出解析解，而非线性方程一般不能得出解析解。

在物理上，近线性问题(它不是我们所说的非线性问题)可用线性逼近方法求出一定精确度的解，即依据具体问题对精确度的要求，逐次解出若干个线性问题，把它们叠加起来，就能得到很好的近似解。但是对于非线性问题，由于存有小参数发散及收敛慢等问题，线性逼近方法将失效，特别是对于高速运动状态、强烈的相互作用、长时间的动态行为等非线性很强的情况，线性方法将完全无能为力。线性逼近方法这些局限性，导致非线性方法的不可替代，在无法用线性方法处理的强非线性的地方，只能用非线性方法。线性逼近方法并非经常能奏效，这不光是方法论问题，也是自然观问题，自然界既有量变又有质变，在质变中， 自然界要经历跃变或转折，这是线性所不能包容的。

(3) 非线性与线性在同一系统中的作用

非线性与线性有一定的联系又有本质区别，它们常同时存在于一个系统之中，规定着系统不同侧面的性质，一个确定的系统，一般都同时具有线性和非线性两种性质：

• 首先，在一个给定的非线性系统中，它的非线性性质决定它的平衡构造或说稳定机制是否存在，及存在的地方。
• 其次，系统的线性性质决定着系统关于其平衡点(稳定结构)的小振动的规律，即系统在稳定点附近的线性展开性质。