微积分有什么用，微积分为什么可以求面积

来源：数学真美

人类文明的每一次飞跃，总是以数学成果的井喷式涌现为前奏。当现有的数学工具无法满足社会生产、生活的需要，也就意味着数学上新的瓶颈就要突破。人类从诞生在这颗蔚蓝色的星球开始，随着时代的变迁，所积压的大量无法解决的难题越来越多。

当历史的车轮来到17世纪时，具有划时代意义的“微积分”诞生，之前所积压的大量难题仿佛在一夜之间全部解决，人类辉煌的近代文明也由此开启。然而，任何一门新的学科诞生之初，并不是那么容易。那么“微积分”到底经历了怎样一个艰辛曲折的过程呢？这还得从遥远的古代说起。

早在公元前7世纪，被称为“科学与哲学之祖”的泰勒斯就开始用含有“微积分”思想的方法对球的面积、体积、与长度等问题进行研究。公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德的著作也已含有“积分学”思想的萌芽。在我国古代三国时期，刘徽发明了“割圆术”，这也是“积分学”思想的早期萌芽。

人类经过漫长的发展，已经积累了太多太多难以解决的问题，特别是历史的车轮来到十七世纪时，许多科学问题已经十分迫切地需要更有利的数学工具来解决了。在这种背景下，作为有史以来最为有力的数学工具“微积分”呼之欲出。

人类在“微积分”创立之前所面临的难题可以归纳为四个类型：第一类是运动中关于“瞬时速度”的问题。第二类问题是几何中“求曲线的切线”的问题。第三类问题是“求函数的最大值和最小值”的问题。第四类是“求曲线长、曲线围成的面积”、“曲面围成的体积”、“物体的重心”、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的“引力”。

为了搞清楚这些复杂的问题，数学家们首先从“天文”、“航海”等实际问题出发，引出了最为核心的“函数”的概念。正是由于“函数概念”的建立，这才产生了以“函数”为主要研究对象的“微积分”。

“微积分”的产生，它是继欧几里得编写的史诗级巨著《几何原本》开创“欧氏几何”以来，另一个最伟大的数学成果。

当然，“微积分”的诞生和“欧氏几何”一样，二者都是在前人丰富的成果上做了总结性的概括。在此之前，已经有许多著名的学者，如：费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格、巴罗、瓦里士、开普勒、卡瓦列利等人为“微积分”的创立做出了很多重要的贡献。

十七世纪下半叶，牛顿和莱布尼茨正是在前人工作的基础上分别站在不同的角度独自完成了“微积分”最后的总结性工作。这两个角度是从表面看起来毫无联系的学科和领域，牛顿研究微积分着重于从“运动学”来考虑，莱布尼兹却是侧重于从几何学”来考虑。而且组成“微积分”的“微分与积分”也是看起来相距很远，微分学的核心问题是“切线问题”，而积分学的核心问题则是“求积问题” 。“微积分”唯一共同的基础是“无穷小量”，这也是“微积分”的另外一个名字“无穷小分析”的由来，也是“现代分析学”的名称的渊源所在。

1736年，牛顿出版了《流数术和无穷级数》，它在这本书中提出的“微积分”还叫做“流数术”，其中最为核心的“导数”还叫做“流数”。牛顿在“流数术”中提出了两个最为核心的问题：“微分法”和“积分法”：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度叫“微分法”；已知运动的速度求给定时间内经过的路程，叫做“积分法” 。

当牛顿在做这些工作的同时，德国的大数学家莱布尼兹也在做着类似的工作。1684年，莱布尼兹发表了具有划时代意义的论文：《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。莱布尼茨在这篇论文中提出了我们今天所见到的“微分符号”和“基本微分法则”，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对“微积分”的发展具有极大的推动作用，我们今天所使用的“微积分”通用符号都是当时莱布尼兹所创造的。

虽然牛顿和莱布尼茨建立微积分是在彼此完全不知情，而且完全是从不同角度建立的，但是由于两人发表的时间和实际建立的时间有差异。导致到底是谁最先创建了微积分的问题引发了大战，直到二人逝世后很久学界才给出了定论：虽然牛顿关于“微积分”的工作的大部分是在莱布尼兹之前完成的，但是“微积分”的主要思想却是莱布尼兹独立完成的。

“微积分”诞生之后，为人类近代科技带来了前所未有的推动作用。但是令人想不到的是，由于人们急于利用“微积分”去各个领域摘取新的成果，无暇顾及微积分“底层逻辑”的完善，使得人们在使用“微积分”的过程中发现了越来越多的悖论和谬论。例如，人们在使用微积分时，对“无穷小量”的处理显得很随意，有时将“无穷小量”看作不为零的“有限量”从而从等式两端消去，而有时却又令“无穷小量”为零而忽略不计。由于这些矛盾，引起了数学界的极大争论，最终引起以爱尔兰主教贝克莱为首的反科学势力的猛烈攻击 。刚刚建立起来的“近代数学大厦”摇摇欲坠，“第二次数学危机”爆发了。

“危机”爆发之后，全世界的数学家都积极地行动了起来，为“微积分”建立完善的“逻辑基础”付出了艰辛的努力，对“极限”、“连续”和“变量”等重要概念做出了“严格的”定义，最终由大数学家维尔斯特拉在“实数理论”的基础上建立起了“数学分析”，接着康托尔给出了严格的“无穷”概念，最终采用柯西的工作成果，将微积分建立在“严格的极限”理论的基础上，使得“微积分”最终茁壮成长，成为人类有史以来最伟大的数学成果。

回顾“微积分”的萌芽、发展到成熟的整个过程，其最为核心的推动力是物理学的需要。然而“微积分”的作用并不仅仅局限于物理学，人们很快发现“微积分”在天文学、力学、光学、热学等几乎所有领域都有广泛的应用。

“微积分”不但推动了其它学科的发展，对数学本身的发展也起到了巨大的推动作用，人们很快在“微积分”的基础上开拓出了“多元微分学”、“多重积分学”、“微分方程”、“无穷级数”、“变分法”等重要的数学领域。

“微积分学”的创立，极大地推动了近、现代数学的发展，解决了过去很多用初等数学无法解决的问题。特别著名的是，人们用“变分法”轻而易举地解决了困扰了数学家们很长时间的“最速降线问题”。

从“微积分”建立的17世纪开始，数学进入了“变量数学”时代。在今天，“微积分”这门学科依然在持续地发展着，新的学术成果依然在不断涌现。还有更多适用于“微积分”的应用领域等待着人类去发现。相信在不久的将来，“微积分”将指引着人类走向更加辉煌的明天。