容斥问题公式,详细解释一下3个以上的容斥定理

这就是摩根公式和排除定理。

(A到b的补码)===(A的补码)和(b的补码)。

(甲、乙)的补充=(甲)至(乙)的补充。

补码==取补码集。

并且==取并集。

交叉口==走交叉口。

括号表示顺序。

n(A1A2…Am)=n(Ai)1Im-n(AiAj)1Ijm+n(AiAjAk)-……+(-1)m-1n(A1A2…Am)1I，j，km

注意包含和排除问题的公式：m-1是-1的指数。

这个公式的形式非常复杂。

强调理解。

理解是非常有用的。

你甚至可以不用背就写出自己的公式。

解决问题时你很得心应手。

但是这个公式超出了高中的范围。

高中顶多会讨论m=3的情况。

似乎很难用语言表达。

也就是说，要找到几个集合的并集，可以先把它们全部加起来。

但这样做在某些地方是有意义的。

那么你就得损失一些(公式决定了需要减去什么)。

但是有些地方这种情况会减少。

然后加一些(公式会判断需要加什么)。

……

重复并继续。

最后的结果就是这些集合的并集。

举个例子。

设置a1、a2、a3。

a1={ 1，2，3，4 }

a2={ 2，3，4，5 }

a3={ 3，4，5，1 }

求三个集合的并集。

根据这个公式。

n(Ai)1im=a1 a2 a3={ 1，2，3，4，2，3，4，5，3，4，5，1 }

n(AiAj)1Ijm=(a1a2a3a1)={ 2，3，4 } { 3，4，5 } { 3，4，1}

n(AiAjAk)1Ijm=(a1a2a3)={ 3，4 }

进入公式

三个集合的并集=a1a2a 3(a1a2a3a1)(a1a2a3)={ 1，2，3，4，2，3，4，5，3，4，5，1}。

这是上面公式的具体应用。

我的表达不是很标准。

但是这个公式的方法是这样的。

重新认识百科名片的包含与排除原则。

计数时，包容排除原则必须注意不重复、不遗漏。为了防止重复计算重叠部分，人们开发了一种新的计数方法。这种方法的基本思想是先计算某一内容中包含的所有对象的数量，而不考虑重叠的情况，然后在计数时排除重复计算的数量，这样计算出来的结果既没有遗漏，也没有重复。这种计数方法称为排除原理。

编辑这一段进行详细的推理。

两个集合的可容许性和斥力公式：ab=ab cab(:的重叠部分)三个集合的相容和斥力公式：abc=ab cabbcc。

2.文氏图的方块标记如右图所示：1245构成A，2356构成B，4567构成C 3。等式()的右边指的是下图1 2 3 4 5 6的6个部分：那么ABC还是缺少第7部分。4.方程右侧【 】中的C(4 5 6 7)后，相当于ABC加4563份，减去BC(即562份)后，再加4份。5.从等式右侧的{}中减去CA(即4 ^ 5)后，ABC进一步减5，所以加ABC(即5)正好是AB。

∪C。

编辑本段容斥原理1

如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

例1

一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？

分析

依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。

答案

15+12-4=23

试一试

电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？ 100-(62+34-11)=15

编辑本段容斥原理2

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

例2

某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？ 分析：参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数12人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数既为A类B类和C类的总和。 答案：25+22+24-12-9-8+X=45 解得X=3

例3

在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？ 分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。求的是“A类或B类元素个数”。现在我们还不能直接计算，必须先求出所需条件。1000÷3=333……1，能被3整除的数有333个（想一想，这是为什么？）同理，可以求出其他的条件。

例4

分母是1001的最简分数一共有多少个？ 分析：这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。 解答：1~1001中,有7的倍数1001/7 = 143 (个)；有11的倍数1001/11 = 91 (个),有13的倍数1001/13 = 77 (个)；有7´11=77的倍数1001/77 = 13 (个),有7´13=91的倍数1001/91 = 11 (个),有11´13=143的倍数1001/43 = 7 (个).有1001的倍数1个. 由容斥原理知:在1~1001中,能被7或11或13整除的数有(143+91+7)-(13+11+7)+1=281(个),从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720(个).也就是说,分母为1001的最简分数有720个.

例5

某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表： 短跑 游泳 投掷 短跑、游泳 短跑、投掷 游泳、投掷 短跑、游泳、投掷

1 7 1 8 1 5 6 6 5 2

求这个班的学生共有多少人？ 分析：这个班的学生数，应包括达到优秀和没有达到优秀的。 试一试：一个班有42人，参加合唱队的有30人，参加美术组的有25人，有5人什么都没有参加，求两种都参加的有多少人？

例6

在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

分析

很显然，要计算木棍被锯成多少段，只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加1就是段数了。 若按将木棍分成10等份的刻度线锯开，木棍有9条刻度线。在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线，显然刻度线有重复的，如5/10和6/12都是1/2。同样再加上将木棍分成15等份的刻度线，也是如此。所以，我们应该按容斥原理的方法来解决此问题。用容斥原理的那一个呢？想一想，被计数的事物有那几类？每一类的元素个数是多少？ 解答 不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9，11，14(相应于10，12，15等分)，共计34个 由于5，6的最小公倍数为30，所以10与12等份的等分点在30单位处相重，必须从34中减1． 又由于4，5的最小公倍数为20，所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重，必须再减去2， 同样，6，4的最小公倍数为12，所以15与10等份的等分点在12，24，36，48单位处相重，必须再减去4 由于这些相重点各不相同．所以从34个内分点中减去1，再减去2，再减去4，得27个刻度点。沿这些刻度点把木棍锯成28段. 容斥原理用于计算集合并集的元素个数，公式为：

n(A1+A2+……+Am)=n(A1)+n(A2)+……+n(Am)-n(A1A2)-n(A1A3)-……-n(A1Am)

-n(A2A3)-n(A2A4)-……-n(A2Am)-……-n(Am-1Am)+n(A1A2A3)+n(A1A2A4)+……

+n(Am-2Am-1Am)-……+(-1)^(m-1)*[n(A1A2……Am)]

注:n(A)表示集合A的元素个数,A+B表示A∪B，AB表示A∩B