End tecdat|Stata广义矩法GMM面板向量自回归PVAR模型选择、估计、格兰杰因果检验分析投资、收入和消费数据。

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摘要

面板自回归模型在应用研究中的应用越来越广泛。虽然大多数统计软件包中通常包含专门用于估计时间序列VAR模型的程序作为标准函数，但面板VAR模型的估计和推断通常由通用程序实现，这需要一定的编程技巧。本文简要讨论了广义矩方法(GMM)框架下面板VAR模型的模型选择、估计和推断，并介绍了一套便于实现的Stata程序。

一、简介

时间序列向量自回归(VAR)模型起源于宏观计量经济学文献，作为多元联立方程模型的替代(Sims，1980)。VAR系统中的所有变量通常都被视为内生变量，尽管可以根据理论模型或统计程序来确定极限，以解决外生冲击对系统的影响。随着VAR在面板数据设置中的引入(Holtz-Eakin，Newey和Rosen，1988)，面板VAR模型已经在许多交叉学科的应用中得到应用。

本文简要总结了广义矩法(GMM)框架下面板VAR模型的选择、估计和推理，并提供了一套Stata程序。我们使用国家纵向调查和投资、收入和消费数据。包括格兰杰因果检验(1969)的子程序，以及根据Andrews和Lu(2001)的最佳时间和模型选择。

2.面板向量自回归

我们考虑具有特定面板固定效应的顺序可变面板VAR，其由以下线性方程表示：

其中是(1)因变量的向量；是(1)外生协变量的向量；和(1)因变量的特定固定效应和特定误差的向量。和矩阵是待估计的参数。我们假设创新具有以下特征。

上述参数可以与固定效应联合估计，或者在一些变换之后，可以独立于固定效应使用普通最小二乘法(OLS)。然而，由于方程系统右侧的滞后因变量，即使是大的估计也会有偏差(Nicholl，1981)。尽管偏差随着增加而趋于零，但Judson和Owen (1999)的模拟发现，即使在=30时也有显著的偏差。

2.1.GMM估计

已经提出了基于GMM的各种估计器来计算上述方程的一致估计。在假设误差连续不相关的情况下，一阶差分变换可以通过使用早期周期的差异和水平来检测滞后差异，由安德森和肖(1982)提出的方程一致地估计。但是，这种估计会带来一些问题。一阶微分变换扩大了不平衡面板中的间隙。例如，如果有些不可用，时间和？1处的一阶差也缺失。此外，随着面板VAR的滞后顺序，观察每个面板所需的时间周期变大。例如，对于二阶面板VAR，

Arellano和Bover (1995)提出了前向正交偏差作为替代变换，它没有一阶差分变换的缺点。它不使用与过去实现的偏差，而是减去所有可用的未来观测值的平均值，从而最大限度地减少数据丢失。只有最近的观测数据不能用于估计。因为过去的实现没有包含在这个转换中，所以它们仍然是有效的工具。比如在二阶面板VAR中，只有 4的实现可以水平使用工具。

尽管通过方程的GMM估计将产生面板风险值的一致估计，但是将模型估计为一个方程组可能会导致效率增益(Holtz-Eakin，Newey和Rosen，1988)。考虑以下基于等式(1)的转换面板VAR模型，但形式更紧凑：

其中星号表示原始变量的某种转换。如果我们将原始变量表示为，那么第一次微分变换意味着，对于前向正交偏差，其中是面板在时间上的可用未来观测值的数量，它是其平均值。

假设我们随着时间的推移将观察结果叠加在面板上。GMM估计量由以下公式给出。

它是一个()加权矩阵，假设它是非奇异的、对称的和半正的。假设秩和GMM的估计量是一致的。可以选择加权矩阵来最大化效率(Hansen，1982)。

方程的联合估计使得交叉方程的假设检验简单明了。基于GMM估计及其协方差矩阵可以实现参数的Wald检验。也可以使用格兰杰因果检验，假设变量方程中变量滞后的所有系数一起为零。

2.2.模型选择

面板VAR分析的前提是在面板VAR规范和矩条件下选择最佳滞后阶。Andrews和Lu(2001)在Hansen(1982)统计的基础上提出了模型的统一时间和模型选择准则()。他们提出的MMSC类似于各种常用的基于最大似然的模型选择准则，即阿卡克信息标准(AIC)(阿卡克，1969)和贝叶斯信息标准(BIC)(施瓦茨，1978；Rissanen，1978年；阿卡克，1977)和汉南-奎因信息标准(HQIC)(汉南和奎因，1979)。

安德鲁斯和鲁的是由评价的。

计，他们提出的标准选择最小化的向量对

其中是基于样本大小为的因变量滞后的阶次和矩条件的变量面板 VAR 的过度识别限制的统计量。

通过构造，上述 MMSC 仅在时可用。作为替代标准，即使使用刚刚识别的 GMM 模型，也可以计算整体确定系数 (CD)。假设我们用表示因变量的无约束协方差矩阵。CD 为面板 VAR 模型解释的变异比例，可以计算为

2.3.脉冲响应

我们删除外生变量，并专注于方程（1）中面板 VAR 的自回归结构。Lutkepohl (2005) 和 Hamilton (1994) 都表明，如果伴随矩阵的所有模都严格小于 1，则 VAR 模型是稳定的，其中伴随矩阵由

稳定性意味着面板 VAR 是可逆的，并且具有无限阶向量移动平均 (VMA) 表示，为估计的脉冲响应函数和预测误差方差分解提供已知的解释。可以通过将模型重写为无限向量移动平均来计算简单的脉冲响应函数，其中是 VMA 参数。

然而，简单的 IRF 没有因果解释。由于创新是同时相关的，一个变量的冲击很可能伴随着其他变量的冲击。假设我们有一个矩阵，使得。然后可用于将创新点正交化，并将 VMA 参数转换为正交化的脉冲响应。矩阵有效地对动态方程组施加了识别限制。Sims (1980) 提出了 的 Cholesky 分解以在 VAR 上强加递归结构。然而，分解不是唯一的，而是取决于中变量的顺序。

脉冲响应函数置信区间可以基于面板 VAR 参数的渐近分布和交叉方程误差方差-协方差矩阵分析导出。或者，也可以使用蒙特卡罗模拟和自举重采样方法来估计置信区间。

2.4.预测误差方差分解

?步提前预测误差可以表示为

其中是在时间 + ? 处的观察向量，是在时间 ? 预测的提前 ? 步预测向量。与脉冲响应函数类似，我们使用矩阵将冲击正交化，以隔离每个变量对预测误差方差的贡献。正交化冲击有一个协方差矩阵，可以直接分解预测误差方差。更具体地说，m变量对变量n的?步预测误差方差的贡献可以计算为

在应用中，贡献通常相对于变量的?步超前预测误差方差进行归一化。

与脉冲响应函数类似，置信区间可以通过分析得出或使用各种重采样技术进行估计

4. 例子

我们通过分析年工作时间和小时收入之间的关系来说明 pvar使用，Holtz-Eakin、Newey 和 Rosen（1988）之前在他们关于面板向量自回归的开创性论文中对此进行了分析。为了将我们的新程序与 Stata 的内置 var 命令套件进行比较，我们还将新的 pvar 应用于投资、收入和消费数据时间序列数据。

我们通过分析年工作时间和小时收入之间的关系来说明pvar使用，Holtz-Eakin、Newey和Rosen（1988）曾在他们关于面板向量自回归的开创性论文中分析过这种关系。我们还将pvar应用于Lutkephol（1993）的时间序列数据。

4.1.全国纵向调查数据

我们使用来自 1968 年至 1978 年国家纵向调查的 1968 年 14-26 岁女性子样本。我们的子样本由 2,039 名女性组成，她们在至少三轮调查中报告了工资（wage）和年工作时数（hours），其中两轮是连续年份。使用相同的调查，但具有不同的时间段和不同的工人子样本，因此结果可能不具有直接可比性。

下面是使用模型选择，用于以工时和工资的前四个滞后期为工具的一到三阶面板VARs。

1. .ua3 vs(ns(1/4))
2. .gen wge = exp(nwage)
3. .erk

基于 Andrews 和 Lu (2001) 的三个模型选择标准和整体决定系数，一阶面板 VAR 是首选模型，因为它具有最小的 MBIC、MAIC 和 MQIC。虽然我们也想最小化 Hansen 的 J 统计量，但它并没有像 Andrews 和 Lu 的模型和矩选择标准那样修正模型中的自由度。基于选择标准，我们使用由 pvar 实现的 GMM 估计拟合具有与上述相同的一阶面板 VAR 模型。

1. 面板向量自回归
2. . wg rs, in(1/4)

请注意，估计中包括的506名妇女明显少于数据中的全部妇女子样本。默认情况下，pvar会从估计中删除任何缺失数据的观察。由于子样本中的所有妇女的工作时间和工资并不是在所有年份都被观察到的，所以被剔除的观察值的数量会随着作为工具变量的滞后阶数而增加。我们可以通过使用Holtz-Eakin等人提出的 "GMM式 "工具来改善估计。这增加了估计样本，从而使估计更加有效。

1. 面板向量自回归
2. .s tl(1/4) gmm

尽管可以从上面的 var 输出推断出一阶面板 VAR 的格兰杰因果关系，但我们仍然使用 granger 作为说明进行检验。下面格兰杰因果检验的结果表明，在通常的置信水平下，工资格兰杰导致工时和工时格兰杰导致工资，这与 Holtz-Eakin 等人的发现相似。

. granger

面板向量自回归模型估计很少由其自身解释。在实践中，研究人员通常对面板 VAR 系统中每个内生变量的外生变化对其他变量的影响感兴趣。然而，在估计脉冲响应函数 (IRF) 和预测误差方差分解 (FEVD) 之前，我们首先检查估计面板 VAR 的稳定性条件。生成的特征值表和图证实了估计是稳定的。

.table, rph

我们认为工资水平的冲击对同期的工作时间有直接影响，而当前的工作努力只影响未来的工资。使用这种因果顺序，我们使用 fevd 计算了隐含的 IRF，使用 fevd 计算了隐含的 FEVD。IRF 置信区间是根据估计模型使用 200 次蒙特卡罗绘制计算的。FEVD 估计值的标准误差和置信区间同样可用。

1. .
2. . pirf, c20) irf op

根据FEVD的估计，我们看到，在我们的例子中，多达40%的妇女工作时间的变化可以由她们的工资来解释。另一方面，工作时间只解释了妇女未来工资变化的5%。就水平而言，IRF图显示，实际工资的正冲击导致工作努力的减少，这意味着样本中妇女的劳动供给向后弯曲。同样值得注意的是，当前工作强度的冲击对工作时间和工资都有积极但短暂的影响。另一方面，当前冲击对工资的影响对未来工资有持续的积极影响。

4.2.投资、收入和消费数据

我们使用投资、收入和消费数据时间序列数据进行比较。该数据包含从 1962 年第二季度到 1982 年第四季度的投资、收入和消费 自然对数的一阶差分。 仅使用截至第四季度的观测值1978 年在他的例子中，但我们在这里的说明中使用了完整的样本。我们将时间序列数据设置为单面板数据，以便 pvar 发挥作用。

1. delta: 1 qt
2. time vaabl qr, 1960q1 to 1982q4
3. panel aiale: id
4. . xet d tr
5. . gen id = 1
6. . wue utph2

为简单起见，我们使用内置的var（在下面的输出中表示为 var1）和新的 pvar 来比较 VAR(1) 估计值。VAR/面板 VAR 点估计总结为下表。根据计算的点估计和标准误差，请注意每个系数的 95% 置信区间，即点估计两侧的大约两个标准误差，在估计量之间重叠。此外，由于前向正交变换，pvar 使用的观察值比 var 少一个。

1. . est table v1_pvr5, st(Nmntmx) drop(_cons)
2. . est tor pr1
3. . est store ar1_
4. . qui al_ l_ic dnm, gs(1)
5. . est sor vr1

Cholesky 脉冲响应函数和预测误差方差分解同样可以使用新的 Stata 命令 pvarirf 和 pvarfevd 进行估计。与 VAR/面板 VAR 点估计类似，95% 置信区间三个估计量的 Cholesky IRF 和 FEVD 重叠。下面，我们使用三个模型展示了 inv 对inv 上一个标准差冲击的响应。

5. 参考

Akaike, H. (1969)。拟合自回归模型进行预测。统计数学研究所年鉴，21, 243-247。

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