方法：回归。

回归可以用来做实证研究，研究自变量和因变量之间的内在联系和规律，这在社会科学研究中是常见的。回归也可以用来做预测，根据已知的信息准确预测未知的事物。

1. 回归（regression）

1.1 起源与定义

回归最早是由高尔顿.提出的通过研究，他发现如果父母双方都比较高，他们孩子的身高就会低于父母的平均身高。相反，如果父母双方都比较矮，出生的孩子身高会高于父母的平均身高。他认为自然界存在一种约束力，使得身高的分布不发展到身高和身高的极端，而是趋向于回归中心，所以称之为回归。

目前从使用角度定义为数值(标量)预测技术，不同于分类(类别预测技术)。

1.2 不同的用法

1.2.1 解释（Explanation）

回归可以用来做实证研究，研究自变量和因变量之间的内在联系和规律，这在社会科学研究中是常见的。

互联网的普及是否降低了教育不平等的程度？

大学生就业选择的影响因素有哪些？

医疗电商场景下顾客满意度的影响因素有哪些？

1.2.2 预测（Prediction）

回归也可以用来做预测，根据已知的信息准确预测未知的事物。

股市预测：根据股票变动、新闻咨询、公司合并咨询等预测明天股市的平均值。在过去的十年里。

产品推荐：根据用户过去的购买记录和候选产品信息，预测用户购买某一产品的可能性。

自动驾驶：根据汽车各传感器的数据，如路况、车距等，预测正确的方向盘角度。

1.3 模型的构建

无论目的是解释还是预测，都需要掌握与任务相关的规律(认识世界)，即建立合理的模型。

不同的是，解释模型只需要建立在训练集的基础上，一般有解析解(计量经济模型)。预测模型必须在测试集上进行测试和调整。一般没有解析解，需要通过机器学习来调整参数。因此，在相同的模型框架和数据集下，最优解释模型和预测模型很可能是不同的。

本文主要侧重于预测模型的构建，并未进一步涉及解释模型的相关内容。

2. 基于机器学习的模型构建

我们以Pokemon精灵攻击力预测（Combat Power of a pokemon）的任务为例，梳理机器学习三步走的细节。

输入：进化前的CP值、物种(妙蛙种子)、血量(HP)、体重(体重)和身高(身高)

输出：进化的CP值

2.1 模型假设 - 线性模型

为了方便，我们选择最简单的线性模型作为模型框架来完成回归任务。我们可以使用单特征或多特征的线性回归模型，后者会更复杂，模型集会更大。

为了选择合理的模型框架，提前探索数据集，需要观察变量之间的关系，这将决定哪些变量最终被放入模型中，以及变量是否需要再次处理(二次项、倒数等)。).

可以看出横轴和纵轴主要是线性的，有一些二次关系(可以考虑二次项)。

框架(预设)参数(待估计)=模型(目标)

当前模型的参数包括每个特征的权重和偏移量。

2.2 模型评价 - 损失函数

本文描述的回归任务属于监督学习场景，因此需要收集足够的输入输出对来指导模型的构建。

有了这些真实的数据，我们如何衡量模型？从数学上讲，我们使用损失函数来衡量模型。损失函数是根据模型的预测值和实际值之间的差异设置的。

本文选择常用的均方误差作为损失函数。

2.3 模型调优 - 梯度下降

当模型不凸时，没有解析解，只能用启发式方法迭代优化，常用的方法是梯度下降。

首先，我们随机选择一个\ (w 0 \)，然后计算微分确定移动方向，然后更新相应的参数，重复直到找到最低点(两次更新的差值小于阈值或预设的迭代次数)。

对于需要更新多个参数的模型，步骤基本相同，只是做了部分微分。

在梯度下降过程中，会遇到一些问题，导致无法达到最优点。

如何解决这些问题，后面会涉及。

3. 模型构建中的问题和解决

3.1 评价模型的泛用性（Generalization）

一个好的模型不仅要在训练集中表现良好，还要在未知的数据集(测试集，真实的应用场景)中表现良好。

因此，我们必须在测试机上计算模型。

性能，理想情况下不能有较大的下滑。

3.2 提高模型的拟合度

若模型过于简单，则模型集合较小，可能无法包含真实的模型，即出现欠拟合问题。
我们可以选择更复杂的模型去优化性能。以使用1元2次方程举例，显著提高了预测性能。

我们还可以在模型中增加调节项（Pokemon种类）来改进模型。

模型在训练集和测试集的性能表现如下所示：

3.3 防止过拟合（Overfiting）的出现

如果我们继续使用更高次的模型，可能会出现过拟合问题。

我们可以通过加入正则项来防止过拟合问题的出现。

正则项权重变化对模型性能的影响如下所示：

4. 回归 - 代码演示

现在假设有10个x_data和y_data，x和y之间的关系是y_data=b+w*x_data。b，w都是参数，是需要学习出来的。现在我们来练习用梯度下降找到b和w。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import mpl
# matplotlib没有中文字体，动态解决
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Simhei']  # 显示中文
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决保存图像是负号'-'显示为方块的问题
# 生成实验数据
x_data = [338., 333., 328., 207., 226., 25., 179., 60., 208., 606.]
y_data = [640., 633., 619., 393., 428., 27., 193., 66., 226., 1591.]
x_d = np.asarray(x_data)
y_d = np.asarray(y_data)
x = np.arange(-200, -100, 1) # 参数的候选项，指偏移项b
y = np.arange(-5, 5, 0.1) # 参数的候选项，指权重w
Z = np.zeros((len(x), len(y)))
X, Y = np.meshgrid(x, y)
# 得出每种可能组合下的loss，共需要计算100*100=10000次
for i in range(len(x)):
    for j in range(len(y)):
        b = x[i]
        w = y[j]
        Z[j][i] = 0  # meshgrid吐出结果：y为行，x为列
        for n in range(len(x_data)):
            Z[j][i] += (y_data[n] - b - w * x_data[n]) ** 2
        Z[j][i] /= len(x_data)

以上代码生成了实验数据，并用穷举法计算出了所有可能组合的loss，其中最小值为10216。
接下来我们尝试使用梯度下降法来快速寻找到较小的loss值。

# linear regression
b=-120
w=-4
lr = 0.000005
iteration = 10000 #先设置为10000
b_history = [b]
w_history = [w]
loss_history = []
import time
start = time.time()
for i in range(iteration):
    m = float(len(x_d))
    y_hat = w * x_d  +b
    loss = np.dot(y_d - y_hat, y_d - y_hat) / m
    grad_b = -2.0 * np.sum(y_d - y_hat) / m
    grad_w = -2.0 * np.dot(y_d - y_hat, x_d) / m
    # update param
    b -= lr * grad_b
    w -= lr * grad_w
    b_history.append(b)
    w_history.append(w)
    loss_history.append(loss)
    if i % 1000 == 0:
        print("Step %i, w: %0.4f, b: %.4f, Loss: %.4f" % (i, w, b, loss))
end = time.time()
print("大约需要时间：",end-start)
# Step 0, w: 1.6534, b: -119.9839, Loss: 3670819.0000
# Step 1000, w: 2.4733, b: -120.1721, Loss: 11492.1941
# Step 9000, w: 2.4776, b: -121.6771, Loss: 11435.5676

可以发现，梯度下降法可以快速从初始值迭代到合适的参数组合，接近最优参数。但我们发现，达到最优值的过程却非常缓慢。使用下面的代码可以对寻优过程进行可视化。

# plot the figure
plt.contourf(x, y, Z, 50, alpha=0.5, cmap=plt.get_cmap('jet'))  # 填充等高线
plt.plot([-188.4], [2.67], 'x', ms=12, mew=3, color="orange") # 最优参数
plt.plot(b_history, w_history, 'o-', ms=3, lw=1.5, color='black')
plt.xlim(-200, -100)
plt.ylim(-5, 5)
plt.xlabel(r'$b$')
plt.ylabel(r'$w$')
plt.title("线性回归")
plt.show()

如下图所示，参数最终寻优的方向是正确的，但是因为迭代次数不够所以提前停止。

我们将迭代次数更改为10万次，结果如下所示：

迭代次数仍然不足，我们继续将迭代次数更改为100万次，结果接近最优，如下所示：

迭代次数太多会消耗过多的计算资源，我们可以通过调整学习率来加快速度。当我们将学习率设置为之前的两倍（0.00001）时，迭代10万次即可达到接近最优的结果，如下所示；

但需要注意的是，学习率如果设置得太高，可能会发生振荡，无法收敛。下图是我们将学习率设置为0.00005时的情况。

总而言之，我们要清楚机器学习的强大能力以及不稳定性，然后学习相关原理进而熟练使用。

参考文献

1. Datawhale 开源学习资料 李宏毅机器学习
2. 到底什么是实证研究