e是什么,数学中e是怎么得到的

e是什么,数学中e是怎么得到的 世上有很多有意思的设计,或精致细腻,或别出心裁,或令人耳目一新,或让人拍案叫绝,今天我们故事的主角是一个小小的挂钟~从1点开始,探寻每个式子背后的故事~1点的故事:欧拉公式:,所以。这

世上有很多有意思的设计,或精致细腻,或别出心裁,或令人耳目一新,或让人拍案叫绝,今天我们故事的主角是一个小小的挂钟~

数学课堂:小时钟大故事之欧拉公式

从1点开始,探寻每个式子背后的故事~

1点的故事:

欧拉公式:

数学课堂:小时钟大故事之欧拉公式

,所以

数学课堂:小时钟大故事之欧拉公式

。这个答案很像是句废话,其实问题应该问e是什么?

数学课堂:小时钟大故事之欧拉公式

又是什么?以及欧拉是谁?

01

自然常熟e

e是个常数,如同π一样,而且也是个超越数,e到底等于多少呢?e来源于何方?我们从一个慈善银行的故事开始。

我们都知道银行存款是有利息的,分单利和复利两种,有一家慈善银行,开业大酬宾,活期存款年利率100%,也就是说,一块钱存一年,到期取出两块钱。然而资金短缺的Roy仅仅能拿出100块存入这家银行,但他依然想着怎样能多收点利息,他发现

如果100块存一年,到期可取:

100×(1 100%)=200元

然而这家银行是活期的存款利率100%,假如先存半年,半年后可取出150元,再将150元存半年,则一年后的利息肯定会更多些。即为:

100×(1 100%×1/2)^2=225元。

仿佛打开了新世界的大门,接着Roy盘算说,如果每个季度取出来再存一次,那一年后可取:

100×(1 100%×1/4)^4≈244

如果每个月取存一次,那一年后可取:

100×(1 100%×1/12)^12≈261

取存的次数增多,虽然说每次的利息变少了,但因为次数增加所以利息也会增加,那会不会,多到没有上限呢?

再疯狂点,每天取出来一次,一年后可取:

100×(1 100%×1/365)^365≈271.47

数学课堂:小时钟大故事之欧拉公式

虽说数字一直再增加,但很明显,增加的幅度一直在变小。

如果Roy这一年(31536000秒)里,每秒都在取钱存钱,一年后会收到:

100×(1 100%×1/31535000)^31536000≈271.74

折腾到每一秒,居然只比上面的多几毛钱,照这么个趋势,即便次数再多,也到不了300块了。然而现实更加真实,连272都到不了。当次数达到无数次的时候,这个结果大概是271.82818284……也就是我们所说的e!

数学课堂:小时钟大故事之欧拉公式

n趋近无穷大的时候,

数学课堂:小时钟大故事之欧拉公式

的结果是一个常数,这个常数是个超越数,约等于2.7182818284……记为e,还有个非常低调的大名:自然常数。

数学课堂:小时钟大故事之欧拉公式

02

科学巨匠—莱昂哈德·欧拉

对历史人物进行排名一直是广大吃瓜群众的一大爱好,数学家也未能幸免,不过好在史上公认的四大数学家:阿基米德、牛顿、高斯、欧拉,对于这一点大家基本是持统一意见。

数学之神阿基米德一手撬地球吓得地球瑟瑟发抖,上帝之子牛顿一个苹果砸出万有引力,数学王子高斯一招1-100求和的故事传唱至今。然后咧,欧拉是谁?他干过啥事?

数学课堂:小时钟大故事之欧拉公式

相信每个数学系的学子应该都有过被欧拉支配过的恐惧,因为,基本上在每一本数学专业课教材上,都会出现他的名字,以致于我一度怀疑欧拉真的不是一个姓氏?欧拉涉猎范围极广,比如数论、代数、无穷级数、函数、复变函数、微积分、变分法、几何等等,这些我们今天都不讲。

他还被称为“分析的化身”,从他之后,数学变成了代数、几何、分析三足鼎立的局面。此外他还是个物理学家,研究过建筑,探索过航海,计算过彗星的轨道,出版过音乐著作。

数学课堂:小时钟大故事之欧拉公式

总结下来一句话:这货是开挂的!

开挂的欧拉1707年出生于瑞士,13岁中学毕业,进入巴塞尔大学,16岁硕士毕业,19岁博士毕业。是的你没有看错,19岁就博士毕业了,所以天才从小就藏不住。顺便说一下,本科读的是哲学专业,所以欧拉还是一个跨专业选手,数学纯粹是出于兴趣去隔壁教室蹭蹭课。后来在其数学老师约翰·伯努利的劝说下,欧拉的父亲才改变让欧拉做牧师的想法,让欧拉真正转到数学门下。

欧拉一生完成论文和著作共计886篇,是史上最高产的数学家之一,在他的一生中,他的数学成果平均每年800页,以致于在他去世之后的近半个世纪里,他的作品依然源源不断地出现在圣彼得堡皇家科学院的出版物当中,真实演绎了“有的人死了,但他还活着”。

数学课堂:小时钟大故事之欧拉公式

1735年,据说因为工作时间过长,28岁的欧拉右眼失明,所以欧拉有将近一半的成果是在一只眼睛失明的情况下完成的。而另外一半,则是在双目失明的情况下完成的。1766年,一次不成功的白内障手术让欧拉的左眼也罢工了,至他去世的这17年的时间里,欧拉通过心算、口述的方式依然进行着数学研究,可见其超强的记忆力和心算能力。欧拉告诉我们,学数学靠脑子,不需要眼睛。

1783年的一个夜晚,欧拉突发脑溢血去世,据说,欧拉的烟斗掉地上去了,他弯腰去捡,说了句:我死了。然后便再也没有站起来。就这样一代伟大的数学家停止了生命,也停止了计算。

他是一个伟大的学者,也是一个善良的人。

03

欧拉公式

0、1、π、i、e被称为是数学中的五大常数,欧拉用一个公式将他们联系到一起,即欧拉公式:

数学课堂:小时钟大故事之欧拉公式

1988年,《数学信使》杂志组织了一次推选史上最优美数学定理的投票,这个公式位列榜首。

那这个公式是怎么来的呢?

来看个函

数学课堂:小时钟大故事之欧拉公式

,这个函数突出一个不好计算,因为e是个无理数啊,于是数学家们就想出了一个用多项式函数来逼近这个函数的方法,简单说,这个函数不好算,我们整个近似的函数,经过一番精密的计算(泰勒公式),发现:

数学课堂:小时钟大故事之欧拉公式

同样,三角函数sinx和cosx也不太好求值把,不慌,我们也可以取近似值的:

数学课堂:小时钟大故事之欧拉公式

是不是觉得长得有点像,因为右边都是多项式嘛,对的,就是要转变为多项式因为比较容易计算,至于这些式子是怎么得到的,这又是另外一个问题了。

数学课堂:小时钟大故事之欧拉公式

展开式中的x换成ix看看:

数学课堂:小时钟大故事之欧拉公式

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,将x=π代入,得

数学课堂:小时钟大故事之欧拉公式

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也是就是这个式子本式!

04

一点皮毛

亲和数:毕达哥拉斯学派曾经发现这样一组数:220和284。有什么特别之处呢?220的所有因数(本身除外)之和等于284,同样,284的所有因数之和也等于220,于是称它们为一对亲和数。1636年,费马发现了另一对亲和数:17296和18416,两年之后笛卡尔也发现了一组9363584和9437056,确实不太容易啊!后来在1750年,欧拉一次性给出了60对……

欧拉公式2:V-E F=2。这个公式小学应该就见过,也叫欧拉公式。没办法,欧拉提出的公式太多,但人名只有一个,只好委屈委屈都叫欧拉公式了。任何多面体的顶点数(V)、棱数(E)、和面数(F)都满足V-E F=2。比如正方体有8个顶点,12条棱,6个面,8-12 6=2。欧拉的学生柯西利用这个公式证明出,正多面体只有5种:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

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欧拉公式3:

数学课堂:小时钟大故事之欧拉公式

。三角形外心O与内心I的距离为d,外接圆半径为R,内切圆半径为r,即有

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九点圆:任意三角形中,三边的中点、三条高的垂足、垂心与三角形三个顶点连线的中点,这九个点共圆。

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欧拉线:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心在同一直线上,且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。

哥尼斯堡七桥问题:在哥尼斯堡的一个公园里,有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来,是否可能从这四块陆地的人一块出发,恰好通过每座桥一次并最终回到起点?欧拉并没有找到这样的操作,但他证明了这是不可能实现的,顺带还开创了一个数学新的分支——图论。

数学课堂:小时钟大故事之欧拉公式

费马猜想:形如

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的数始终是素数。欧拉说:

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天晓得他是怎么算出来的。

费马小定理:如果p是素数,且a是不能被p整除的整数,则

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能被p整除。欧拉不仅证明了这个定理,还顺带提出了更一般性的结论:若n、a为正整数且互质,则:

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费马大定理:当n

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