两线一圆模型解决直角三角形问题，二次函数压轴等腰直角三角形

来源：头条浏览：0 2022-12-30 11:10:01

直角三角形存在的问题是近年来中考的题型，一般放在平面直角坐标系中结合抛物线进行考察。这类问题的解法模式一般是固定的，学生在学习过程中只需牢牢掌握直角三角形存在的基本模型即可。两线一元，多练习，这样的问题很容易掌握。

例如，在平面直角坐标系中，点a坐标为[ 1，1 ]，点b的坐标为[ 5，3 ]，在x轴上搜索点c以使ABC成为直角三角形，求出点c的坐标.

2条线得到坐标，(1) a为直角时，越过点a引出AB的垂线，求出与x轴的交点的点c。 )2) b为直角时，如果通过点b作为AB的垂线，则与x轴的交点成为求出的点c。 (3)以c为直角，以AB为直径形成圆的话，求出与x轴的交点的点c.) )相对于直径的圆周角为直角)。

关键还是如何求出点坐标，C1、C2的求法相同，以C2为例：

形成三个垂直：

C3、C4的求法相同，以C3为例：

构建三垂直台阶：第一步：通过直角顶点建立水平或垂直直线；步骤2 (通过其他两端点在这条直线上垂线，就可以得到三垂直相似。

“二线一元”模式：

在平面直角坐标系中遇到直角三角形的相关问题，通常以直角顶点为分类标准，如下图所示，分别以点a、点b、点m为直角定点构造直角三角形，根据相关条件求解即可。具体而言，(1)越过点a作为直线AM的垂直AB，在点m上取交叉x轴； )通过点b，作为直线BM的垂直AB，在点m上取交叉x轴； )3)由于圆周角相对于直径为90度，以AB为直径作圆，与x轴相交的点满足条件的点m )一般有两个交点，特殊情况下只有一个交点)，根据相关条件求解即可。

应用例1 .如图所示，正方形ABCO的边长为5，o为原点，BC交叉y轴位于点d，且d为BC边的中点，抛物线y=ax bx c通过b、c，并且与y轴的交点为e ( 0，10/3 )

)1)求出点c的坐标，直接写出点a、b的坐标。

)2)求抛物线的解析表达式及对称轴

)3)探索抛物线的对称轴上是否存在点p，将PBC变为直角三角形？如果存在，则直接写出满足条件的所有p点坐标；如果不存在，请说明理由。

解析)1)如果过了c，将CF3x轴设为f，则在rt ) OCF中，容易得到OCF=COD的情况下，它们的正切值相同，可以得到CF=2OF，根据梯度定理可以求出OF、cf的长度同样可以求出a、b坐标； c ( 1，2 )、a (-2，1 )、b )-1，3 )。

)2)根据已经求出的a、b、c的坐标，用未定系数法求出抛物线的解析式为y=5/6x -1/2x 10/3，对称轴为直线x=-3/10。 )3) PBC为直角三角形时，有三种情况。

如果PBC=90，则p点必须是直线AB与抛物线对称轴的交点，可以先求出直线AB的解析式，再根据联立抛物线的对称轴方程求出p点的坐标；

如果PCB=90，则p点必须是直线OC与抛物线对称轴的交点，方法；

如果BPC=90，且以BC为直径可以构造一个圆，则p点超过圆与抛物线对称轴的交点D成为抛物线对称轴的垂线，可以将垂线的脚设为m，连接DP从抛物线的对称轴得到DM的长度。另一方面，DP是圆的半径1/2BC的长度。在RtDPM中，可以用梯度定理求出PM的值，并且可以求出p点的纵轴。 p点的横坐标与抛物线的对称轴的值相同，由此可以得到p点的坐标。

例2 .如图所示，已知抛物线y=axbxc(a0 )对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴和a、b这两点、y轴和c点相交。其中a ( 1，0 )，c ) 0，3 )。

)1)当直线y=mx n通过B、C两点时，求出直线BC和抛物线的解析表达式；

)2)在抛物线的对称轴x=-1上寻找点m，将点m到点a的距离与点c的距离之和最小化，求出点m的坐标。

(3)将点p作为抛物线对称轴x=-1上的一个动点，求出以BPC为直角三角形的点p的坐标。

分析：

例3 .如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=1/2x bx c图像与直线y=x 3在a、b的两点相交，且点a位于y轴上，点b的坐标为[ 4，1 ]。

)1)求抛物线的函数解析式；

)2)通过点a作为ACAB交叉的x轴位于点c。

求出点c的坐标

抛物线的对称轴上是否存在一点p以使PAC的周长最小？如果存在，求出此时的PA PC的值；如果不存在，说明理由；

为了使QAB成为直角三角形，坐标轴上是否存在点q，点c除外？如果存在，则直接写出可以将QAB作为直角三角形点q的所有坐标；如果不存在，请说明理由。

【分析】(1)首先y=1/2x 3，得到与y轴交点a的坐标，再将y=-1/2xbxc代入b ) 4，1 )和a ) 0，3 )，用待定系数法可以求得抛物线的函数解析表达式